LIVRE III
LES FIGURES SEMBLABLES
par le sommet G, on voit que l’angle AMB, dont le sommet est à l’intérieur du cercle, a pour mesure la moitié de l’arc AB, plus la moitié de l’arc GI), c’est-à-dire deux divisions de la circonférence. D’ailleurs, l’angle inscrit ABG a pour mesure la moitié de l’arc AG, c’est-à-dire encore deux divisions; l’angle au centre BOB a aussi cette même mesure. Les deux triangles AMB, DMO, sont donc isocèles, et l’on a
AM — AB, MD = OD ou AD — AM — OD.
D’un autre côté, les angles OMA, DOA, étant égaux comme ayant l’un et l’autre pour mesure trois divisions, les droites OM et OD sont antiparallèles par rapport à l’angle OAD, et l’on a (192)
AD.AM = ÏO \
Les deux relations précédentes montrent que la recherche des côtés AD et AB = AM revient à celle de deux lignes dont la différence est égale au rayon et dont le produit est égal au carré du rayon; on obtiendra donc ces deux côtés (259) en divisant le rayon en moyenne et extrême raison; le plus grand segment additif sera le côté du décagone régulier convexe, et le plus petit segment soustractif sera le côté du décagone régulier étoilé.
Si B est le rayon du cercle, on aura (259)
AB
et AD
Corollaires.
278. La circonférence étant divisée en dix parties égales, en joignant les points de division de deux en deux, on obtient le pentagone régulier convexe ACEGK; en les joignant de quatre en quatre, on trace le pentagone régulier étoilé AEKCG
Pour calculer les côtés FD et FB (fig-içfi) du pentagone régulier convexe et du pentagone étoilé, il suffit de remarquer que, si l’on mène le diamètre FA, les cordes AD et AB sont les côtés du décagone étoilé et du décagone convexe. Or les
l8o GÉOMÉTKIli PLANE.
triangles rectangles FAD, FAB, donnent
Fl) = \fl 11= - Ai)', FB -- V^4 l!' — AB
d’où, en remplaçant AD et AB par leurs valeurs (277) et réduisant,
FD — — \] 10 — 2 J 5 , FB — — V10 H- 2 v'5.
279. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier de 20 côtés, puis à celui de 4°> . . . , et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas , inscrire les polygones réguliers de 5, io, 20, 4°>* • • > et, en général, de 5.2" côtés.
PROBLÈME
280. Inscrire un pentédécagone régulier dans un cercle donné ( fi g . 194)*
Supposons le problème résolu, c’est-à-dire la circonférence divisée en quinze parties égales par les points A, B, C, D, E, F, Cx, II, I, K, L, M, N, 0, P.
En joignant les points de division de 1 en 1, de 2 en 2, de 4 en 4» de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du pentédécagone convexe et des trois pentédécagones étoilés.
Considérons les côtés AB et AE; Q étant le milieu de l’arc CD, on a
