LIVRE
on peut donc prendre n assez grand pour que les différences
- a et r — - »
qui sont inférieures à r —a, deviennent moindres que toute quantité donnée.
L’application simultanée de ce principe et du problème du n° 286 permet de calculer ^ et par suite 7 r avec telle approximation qu’on voudra.
On partira d’un polygone dont on sache trouver directement l’apothème et le rayon, par exemple du carré dont le périmètre
est égal à 2; le côté étant égal à -• l’apothème aura pour valeur
*=4eMe y' G
= j v;2 • Puis, à l'aide
des formules du n° 286, on calculera successivement les apothèmes et les rayons a{ et r(, a2 et r2, . . . , ak et rk , . . . , des polygones réguliers et isopérimètres ayant 4-2>4-2'2> •••>
. . , côtés.
Voici le Tableau des calculs jusqu’au polygone de 128 côtés:
rr- 0,3535534.
Cl 2 - :
ai 3 --
La dernière ligne montre que - est compris entre 0,8182 et
TT
o,3i8{, et par suite a pour valeur o,3i83, à moins d’un dixmillième ; quant à 7r, il est compris entre
3,142... et
c’est-à-dire entre 3, 1 4 1 et 3 , f 4 3 ; il a donc pour valeur 3, 142, à moins d’un millième.
On peut remarquer que r = \ est la moyenne arithmétique
GÉOMÉTRIE PLANE
entre o et - et que r — - sji est la moyenne géométrique entre
- et a , et l’on est ainsi conduit à ce théorème :
Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des nombres
Oj ? Cl ^ l y ^1 J / 1} ^2 * ^ •••
obtenus en partant de o et -, et prenant alternativement la
moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent.
Pour compléter l’exposition de la méthode, il reste à chercher une limite du nombre des opérations à faire pour obtenir tc avec une approximation donnée.
Pour obtenir - à moins de — ? il suffit qu’on ait
