LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

il suffît donc de multiplier ces deux proportions membre à membre pour avoir la relation (i), qui se trouve ainsi démontrée en valeur absolue.

11 reste à prouver que, eu égard aux signes des segments, c’est le signe qui convient au second membre de cette égalité. Or il ne peut se présenter que deux cas : la transversale coupe deux côtés et le prolongement du troisième [fig. 2o3), ou elle coupe les prolongements des trois côtés [fig. ao3'). Dans le premier cas, deux des rapports qui figurent dans le premier membre sont négatifs, et le troisième positif; dans le second cas, les trois rapports sont positifs. Le produit des trois rapports a donc toujours le signe h-.

Réciproquement , si sur les trois côtés d'un triangle ABC considérés comme indéfinis , on prend trois points a, b, c, tels que la relation (i) soit satisfaite, ces trois points seront en ligne droite.

En effet, en désignant par c' le point où la droite ab rencontre AB, on a, d’après ce qui précède,

«B bC cfifi aC'bA c'B ^ 1 ’

par suite, en comparant cette relation à la relation (i), qui est satisfaite par hypothèse, on a

Donc (303) c' coïncide avec c, et les trois points «, 6, c, sont en ligne droite.

Observons que la relation (i), qu’on prend ici pour hypothèse, exige que le nombre des rapports négatifs du premier membre soit pair, c’està-dire que, parmi les trois points £, c, il y en ait un nombre pair situé sur les côtés et, par suite, un nombre impair sur les prolongements.

On peut encore remarquer que les numérateurs des trois rapports sont trois segments sans extrémités communes; il en est de même pour les dénominateurs.

Le théorème qui précède, attribué à Ménélaüs, géomètre grec antérieur de près d’un siècle à Ptolémée, sert à prouver que trois points d’une figure sont en ligne droite; outre cet usage spécial, il intervient souvent d’une manière utile comme intermédiaire dans certaines démonstrations.

Dans ce théorème, les seuls signes qui interviennent sont ceux des trois rapports formés par les couples de segments relatifs à chaque côté du triangle; il n’est donc pas nécessaire de fixer les signes des segments euxmêmes. Il suffit, par exemple, dans la fig. 208, de donner à bC et à b A des signes opposés, que le sens positif des segments comptés sur AC soit AC ou CA.

GÉOMÉTRIE PLAIS E

Toutefois, il est souvent commode dans les applications de fixer le sens positif pour chaque côté du triangle ABC. Supposons, par exemple, qu’on adopte pour sens positif de chaque côté le sens dans lequel ce côté est parcouru quand on décrit le contour du triangle dans l’ordre alphabétique ABC ; alors, dans la fis;. 2o3, les segments cBel b A seront seuls positifs, les autres seront négatifs; dans la fig. 2o3', tous les segments seront négatifs; dans les deux cas, le nombre des segments négatifs étant pair, le premier membre de la relation (i) aura le signe h-, comme cela doit être.

THÉORÈME

311. Les droites menées d'un meme point O [fig- 204 et 20 5) aux trois sommets d'un triangle ABC rencontrent les côtés opposés , considérés comme indéfinis , en trois points a , b , c, qui satisfont à la relation

. . a B b?* cA

En effet, le triangle AC/?, coupé par la transversale B&, donne

Ba OA AC

BG'Ort’ôA- '*

Fi". 20 j. Fig. 2o5.

Le triangle AB??, coupé par la transversale Ce, donne à son tour

CB Oa cA

C a OA eB !*

En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient la relation

afi bC cA CB a C * 6Â cB * BC ~ 1 ’

qui ne diffère pas de la relation (2), puisque