LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

Réciproquement, si, par les sommets d’un triangle ABC, on mène trois droites A <7, B Zq Ce, telles cpie la relation (2) soit vérifiée, ces trois droites passent par un même point.

En effet, en désignant par O le point de concours de A a et de B Z>, et par c' le point où CO rencontre le côté AB, on a, d’après ce qui précède,

i d’où, en comparant avec la relation (2) qui est satisfaite par hypothèse,

c A c A cB ~ TÂT

Les points c et e' coïncident donc (303) ; en d’autres termes, la droite Ce passe par l’intersection O de A a et de B b.

Corollaire.

312. Le théorème qui précède, dû à Jean de Céva, géomètre italien du xvie siècle, sert à prouver que trois droites d’une figure sont concourantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines démonstrations.

Voici quelques exemples :

i° Dans tout triangle ABC, les trois médianes Aa, B b, Ce, passent par un même point ; car chacun des rapports qui figurent dans le premier membre de la relation (2) est alors égal à — 1.

20 Dans tout triangle ABC, les bissectrices Aa , BZ>, Ce, des trois angles passent par un même point.

En effet, en vertu du n° 184, les rapports négatifs qui figurent dans le premier membre de la relation (2) sont, en valeur absolue, respectivement égaux aux rapports