BC «C AG

d’où l’on voit, en multipliant membre à membre, que le produit est en valeur absolue, égal à i. D’ailleurs, chacun de ces

flC H cB

trois rapports est négatif; donc leur produit est égal à — i.

SCOLIE

313. Si par les sommets d’un triangle ABC on mène trois droites quelconques rencontrant respectivement les côtés opposés en a , &, e, on a la relation [Jig. ao5)

a B b C c A «C bk cB

sin«AB sin^BC sine CA

sin«AC sinÆBA sincCB

En effet, les triangles «AB et «CA donnent (307) «B BA «C CA

sinBA« sinA«B sinCA« ~ sinA«C d’où, en divisant membre à membre,

«B AB sin«AB

«C AC sin«AC?

et il suffit de transporter cette valeur et les valeurs analogues de r A

— dans le premier membre de (3) pour tomber sur le second membre.

De ce lemme et des théorèmes de Ménélaüs et de Jean de Céva, résultent immédiatement les propositions suivantes :

i° Si par les trois sommets cl'un triangle ABC on mène trois droites rencontrant les côtés opposés aux trois points c, Z>, c situés en ligne droite , on a la relation

sin«AB sin^BC sine CA sin«AC sin^BÂ sine CB

2° Quand trois droites issues des sommets d’un triangle ABC passent par un meme point O, on a

sinOAB sinOBC sirtOCA sinOAC sinOBA sinÜCB