PE . QE PF * QF

11 suffit, pour cela, de diviser membre à membre les deux égalités QE DF BA PE DF BA

qf’da'be-1 et pf‘da'be~ I}

dont la première s’obtient en appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle AEF coupé par la transversale BD, et dont la seconde résulte de l’application du théorème de Céva au même triangle AEF et aux trois droites CA, CE, CF.

GÉOMÉTRIE PLANE

Corollaire.

316. Ce théorème fournit un moyen très simple pour construire, avec la règle seule, le conjugué harmonique Q d’un point P par rapport à une droite EPC On mène par P une droite quelconque PCA; en joignant deux points A et C pris à volonté sur cette droite aux points E et F, an obtient un quadrilatère complet dont la diagonale BD va couper EF au point demandé Q.

THÉORÈME

317. Dana tout quadrilatère complet, les milieux des trois diagonales sont en ligne droite .

En effet, soient [Jig. 207) ABCDEF un quadrilatère complet, et L, M, N, les milieux des diagonales AC, BD, EF. Les milieux G, H, K des côtés du

Fig. 207.

triangle BCE sont les sommets d’un nouveau triangle dont les côtés passent respectivement par L, M, N, et tout revient à démontrer (310) l’égalité

MG LK NH MK*LH*NG“ T*

Or l’exactitude de cette relation résulte de ce que les six longueurs qui composent son premier membre sont respectivement les moitiés des segments que la transversale ADF détermine sur les côtés du triangle BCE.