AB = A'])', AC = A'C', BC — B'C' 0 = 0', B = B', A = AC

Chaque cas d’égalité renferme trois de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu’elles sont satisfaites, les six soient remplies. Par suite, quand on aura reconnu dans une certaine figure l’égalité de deux triangles par l’application de l’un des trois cas énoncés, on devra en conclure immédiatement l’égalité des trois éléments non employés, et l’on aura acquis ainsi de nouvelles données qui permettront d’aller plus avant dans la recherche que l’on poursuit. Tel est l’usage de la théorie de l’égalité des triangles.

Il est essentiel de remarquer que, dans deux triangles égaux, les côtés égaux sont toujours opposés aux angles égaux.

THÉORÈME

34. Si un triangle a deux côtés inégaux , l’angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que /’ angle opposé à l’autre.

Soit [fig. 29) le triangle ABC, dans lequel on a AC>» AB; il

Fig. 29.

faut démontrer que l’angle ABC est plus grand que l’angle ACB.

Prenons AD = AB et menons la droite BDK; le triangle ABD étant isocèle, l’angle ABD est égal à l’angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC; l’angle KDC est donc moindre que ABC.

Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons Bi d’une longueur IE égale à BI et tirons la droite DE; les triangles DIE, BIC ont un angle égal DIE = BIC compris entre deux

côtés égaux DI = IC, El = IB; ils sont donc égaux et l’angle EDI est égal àlCB; mais, d’après la construction, le point E est situé dans l’angle KDC; donc l’angle KDC est plus grand que EDI ou que son égal ACB.

Donc enfin, l’angle KDC étant supérieur à ACB et inférieur à ABC, il faut que l’angle ACB soit moindre que l’angle ABC.

35. Réciproquement, si un triangle a deux angles inégaux, le côté opposé au plus grand de ces deux angles est plus grand que le côté opposé à Vautre.

Ainsi, si l’angle ABC est plus grand que l’angle ACB, on doit avoir AC O AB.

En effet, si l’on avait AC = AB, on aurait (28)

angle ABC = angle ACB et, si l’on avait AC<AB, on aurait (34)

angle ABC <C angle ACB.

THÉORÈME

36. Dans un triangle , un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

11 suffit de démontrer que le plus grand côté BC est moindre que la somme B A -4- AC des deux autres {fi g- 3o).

Fig. 3o.

Prolongeons BA d’une longueur AD = AC, et menons CD. De triangle ACD étant isocèle, l’angle D est égal à l’angle ACD et, par suite, moindre que l’angle BCD; donc (35) dans le triangle BCD, le côté BC est moindre que BD, c’est-à-dire que

BA -4- AI) ou BA AC.