D’après cela, on peut dire (332) que

Dans tout système harmonique de quatre points , la distance de l’un des points à son conjugué est la moyenne harmonique de la distance du même point aux deux autres ;

Dans tout système harmonique de quatre points , un point est, par rapport à son conjugue', le centre des moyennes harmoniques des deux autres points.

337. On appelle faisceau harmonique tout faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, dont le rapport anharmonique (O.ABCD) est égal à — t, c’est-à-dire (321) tout faisceau qui détermine sur une transversale quelconque un système de quatre points harmoniques (fïg. 2i5). On dit alors que les rayons OC et OD sont conjugués harmoniques par rapport aux rayons OA et OB, ou qu’ils divisent harmoniquement V angle AOB; et, de môme que les rayons OAetOB sont conjugués harmoniques par rapport aux rayons OCetOD ou qu’ils divisent harmoniquement l’angle COL).

Il est clair, d’après ce qui précède, que si, par un point C pris d’une manière quelconque dans le plan d'un angle AOB, on mène diverses sécantes telles que ACB, en prenant sur chaque sécante le point D conjugué harmonique du point C par rapport au segment AB intercepté entre les côtés de l’angle, le lieu du point D sera le rayon OD conjugué harmonique de OC par rapport à l'angle AOB. Ainsi, pendant que la sécante tourne autour du point C, le conjugué D de ce point fixe décrit une droite fixe OD. On donne à la droite OD le nom de polaire du point C par rapport à l’angle AOB, et au point G le nom de pôle de la droite OD par rapport au même angle AOB.

Steiner a déduit de ce principe une démonstration très-élégante de la propriété fondamentale (31 S) du quadrilatère complet. Reportons-nous à la fig. 206. Soient P' le conjugué harmonique de P par rapport à EF, et R' le conjugué harmonique de R par rapporté BD ; P' et R' devront appartenir l’un et l’autre à la droite conjuguée harmonique de AC par rapport à l’angle EAF et, aussi, à la droite conjuguée harmonique de AC par rapport à l’angle ECF. Les deux points P' et R' coïncident donc et ne diffè-

GÉOMÉTRIE PLANE

rent pas de l’intersection Q de BD et de EF ; les systèmes EPFQ, BRDQ, sont par suite harmoniques; et l’on démontrerait d’une manière analogue qu’il en est de même du système ARCP.

On voit en outre que, si par un point. Q, pris dans le plan d'un angle EAF, on mène deux transversales QDB, QFE, le lieu du point d’intersection C des droites BF, ED, est la polaire du point Q par rapport a l’angle EAF ; de là résulte un moyen fort simple de construire, avec la règle seule, la polaire d’un point par rapport à un angle.

THÉORÈME

338. Dans un faisceau harmonique OA, OB, OC, OD, toute transversale A'B'C'D', parallèle a l’un des rayons OD, est coupée par les trois autres rayons en deux parties égales ( fi g . 21 5 ).

Fig. 2 1 5.

En effet, dans le système harmonique A'B'C'D', le point D' étafit à l'infini, puisque A'D' est parallèle à OD, son conjugué C' doit être au milieu du segment A' B' (333).

Réciproquement, un faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, est harmonique si une parallèle A'B'C'D' à l’un des rayons est divisée en deux parties égales par les tj'ois autres.

En effet, le point C' étant le milieu du segment A'B', ce segment est divisé harmoniquement par le point C' et par le point D' situé à l’infini sur A'B', c’est-à-dire par le point C' et par le point d’intersection de A'B' et de OD. Le faisceau divisant harmoniquement la transversale particulière A'B'C'D' divise harmoniquement toute autre transversale ACBD (320), et par suite est un faisceau harmonique.

Corollaires.

339. Lorsque, dans un faisceau harmonique, deux rayons conjugués OC et OD sont rectangulaires, ces rayons sont les bissectrices des deux angles supplémentaires, formés par les deux autres rayons OA et OB ; car une transversale A'C'B', perpendiculaire à OC, étant alors parallèle à OD,