POLE ET POLAIRE DANS LE CERCLE

THÉORÈME

340. Si, par un point O pris dans le plan d'un cercle C, on mène une sécante quelconque OFE, et qu'on détermine le conjugué harmonique I du point O par rapport à EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la sécante tourne autour du point O, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre AB qui passe par le point O (fl g. 216 et 217).

En effet, soit H le conjugué harmonique de O par rapport à AB ; si l’on joignait EA et EB, le faisceau (EA, EH, EB, EO) serait harmonique et, comme EA et EB sont rectangulaires, EB serait la bissectrice do l’angle 11EF (339). Mais dès lors les arcs BF et BF' ôtant égaux, la droite HO est la bissectrice de l’angle FHF', et, par suite, la perpendiculaire IIZ est bissectrice de l’angle supplémentaire FHL. Or, dans tout triangle IIEF, la base EF est divisée harmoniquement par les bissectrices HZ et HO de l’angle au sommet et do son supplément. Donc, le point I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre AB.

341. On dit que le point O est le pôle de la droite HZ, et que la droite HZ est la polaire du point O par rapport au cercle G.

Le diamètre AB qui passe par le pôle étant divisé harmoniquement par

23o géométrie plane.

le pôle O et le pied H de la polaire, on a (332) en grandeur et en signe la relation