LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2Ô

i° En désignant par r et r1 les rayons des deux cercles et par p la puissance du point S par rapport au cercle O, on a

ciw P

SM.SN = p et ^ = p- En divisant la première égalité par la seconde, il vient

et l’on trouverait de même

SN.SM' = p~;

SM.SN' — p - •

20 D’après cela, si S m est une autre sécante issue du point S, on aura

SM.SN' = Srt.Sm';

donc (194) les points M et N', n et m' sont sur une même circonférence O".

3° Enfin, la corde M« étant l’axe radical des cercles O et O", et la corde N 'né l’axe radical des cercles O' et O", le point d’intersection C des deux cordes est le centre radical (376) des trois cercles O, O', O", c’est-à-dire un point de l’axe radical des cercles O et O'. Cette dernière propriété, prise à sa limite, prouve encore que les tangentes en deux points anti-liomologues de deux cercles se coupent sur l’axe radical.

THÉORÈME

379. Quand deux cercles (A) et (B) sont touchés par un troisième (w), la droite qui joint les points de contact a et h passe par un centre de similitude I de (A) et de (B), et le pôle t de cette droite par rapport à (o>) est situé sur l’axe radical L de (A) et de (B) Yfig. 238i].

En effet, puisque (362) a est un centre de similitude de (A) et (w), et b un centre de similitude de (B) et (w), la droite ab est (366) un axe de similitude des trois cercles (A), (B), (w); elle passe donc par un des deux centres de similitude de (A) et (B). D’autre part, les tangentes en a et en b étant (373) les axes radicaux de (A) et (o>) et de (B) et (w), leur point de rencontre t, c’est-à-dire (343) le pôle de ab par rapport à (ou) est le centre radical (376) des trois cercles (A), (B), (w) ; il appartient donc à l’axe radical L de (A) et (B).

Cette proposition a deux réciproques.

i° Si la droite ab, qui joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B), passe par un centre de similitude I de ces deux cer-

GÉOMÉTRIE PLANE

clés, le cercle (w) qui touche (À) cm point a cl qui passe par le point b. touche en ce point le cercle (B). — En effet, si le cercle (u>) coupait (B) en un second point bl} la droite \bx couperait les cercles (tu) et (A) en deux points distincts a et au et l’on aurait, en combinant les propriétés des sécantes (193) et celles des points antihomologues (378),

I b\ . I a — I b . 1 cl — I b y . I ai,

c’est-à-dire Icq = la, ce qui est contraire à l’hypothèse.

2° Si la droite ci b , qui joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B) est telle, que le point de rencontre t clés tangentes en a et en b à ces deux cercles appartienne à leur axe radical L, le cercle (w) qui touche (A) au point a et qui passe par le point b,

Fig. 238,.

touche en ce point le cercle (B). — En effet, si la droite tb coupait le cercle (a») en un second point b l} on aurait

tb .tb i — ta — tb ,

c’est-à-dire tb = tbx , ce qui est contraire à l’hypothèse Corollaire.

380. Si deux cercles (A) et (B) sont touchés respectivement en a et en b par un cercle (to) et en a' et en b' par un cercle (w'), de façon que les contacts en b et en b' soient semblables ou dissemblables sui-