LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

vaut que les contacts en a et en ci sont eux-mêmes semblables ou dissemblables, le point de concours de deux cotés opposes quelconques du quadrilatère ah a! b' est à la fois un centre de similitude des deux cercles dont ces côtés sont des cordes et un point de l'axe radical des deux autres cercles {fig. 23 Sj).

En effet, si les contacts en a et en a! sont semblables, acî passe (366) par le centre de similitude externe de (to) et (a/); mais, alors, les contacts en b et en b' étant aussi semblables par hypothèse, bb' passe par ce même centre de similitude; on verrait, par un raisonnement analogue, que, si les contacts en a et en a' sont dissemblables, les droites aa' et bb' passent toutes deux parle centre de similitude interne de (io) et (u/). Dans les deux cas, le point de concours J de aa' et de bb' est donc un centre de similitude de (w) et (a/). Les points a et a sont sur ces deux cercles des points anti-homologues, et il en est de même des points b et b'. On a dès lors

Ja.Ja' = Jb.Jb',

et le point J, ayant même puissance par rapport à (A) et à (D), appartient à l’axe radical L de ces deux cercles.

D’ailleurs, de ce que les contacts en b et en b' sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et en a ', il résulte que les contacts en a! et en b’ sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et en b ; et, par suite, un raisonnement identique au précédent prouve que le point de concours I de ab et de a' b’ est un centre de similitude de (A) et (B) et appartient à l’axe radical de (w) et (to').

NOTIONS SUR L’iNVOLUTION.

381. On dit que plusieurs couples de points (a, al), (b, b '), ..., (m,m'), ... situés sur une même droite L forment une involution, lorsqu’on peut trouver sur la droite L un point O, tel que l’on ait

Oa.Oa'= O b. Ob' = Oc.Oc' = . . .= K.

La droite L est la base , O le point central, et la constante K la puissance de l’involution.

i° Deux couples de points ( a , a'), ( b , //), déterminent une involution. En effet, si p est un point pris à volonté hors de la droite L, le point central O doit avoir la même puissance par rapport aux cercles circonscrits aux deux triangles paa',pbb'\ il appartient donc à l’axe radical de ces deux cercles et, par suite, il sera le point où cet axe coupe la droite L. Dès lors, q étant le second point d’intersection des deux ccr-

des, le conjugue c' d’un point c de la droite L sera le second point commun à cette droite et au cercle circonscrit au triangle pqc.

La perpendiculaire élevée sur la base L par le point central 0 est l’axe radical commun des cercles décrits sur les segments aa! , bb', cé , comme diamètres.

20 On nomme point double d’une involution tout point u de la base L cpii est son propre homologue. Pour qu’un tel point existe, il faut et il suffit qu’on ait

Ou = K.

Donc il n’y a pas de points doubles si K est négatif; si K est positif, il y a deux points doubles e et f situes sur la droite L, de part et

d’autre, du point central O à une même distance égale à fk.

D’après cela, l’involution peut offrir deux dispositions différentes.

Si K est positif, comme on a (332, 333)

Oe — Of = Otf .Oc' = O b . O b' = Oc. Oc'— . . . ,

les points doubles e et/ divisent harmoniquement chacun des segmen ts ad , bb' , cc' , . . . ; par suite, le point central n’est jamais compris entre 1 deux points conjugués, tels que cl et a!, et deux quelconques des segments ad , bb' , cé, ... sont, soit comme ad et bb' , d’un même côté! de O et alors compris l’un dans l’autre, soit comme ad et cé, de part 1 et d’autre de O et alors extérieurs l’un à l’autre (fig. 209). Oc et O/j sont égales à la longueur commune des tangentes menées par O aux i divers cercles décrits sur ad , bb ', cé, . . . comme diamètres.

Si K est négatif, les produits Oa.Oa', Ob.Ob', Oc. Oc', ... étant1 négatifs, tout couple de points conjugués est séparé par le point cen-,: Irai O et deux quelconques des segments ad, bb', cé, . . . empiètent l’un sur l’autre (fig. 2391). Chacun des cercles décrits sur ad, bb', j cé, . . . comme diamètres coupe l’axe radical commun aux deux mêmesj points P et P' symétriques par rapport à la base L et situés à une distance OP de cette base égale à la racine carrée des produits Oa.Oa',

Ob.Ob', Oc. Oc'

c’est-à-dire égale à y/ — K. Une involution de ce