LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

Considérons d’abord (J/ g. 240) une seule ligne quelconque JMN et son inverse M'N'; il est aisé de voir que les angles TMM', TM'M, que leurs tangentes MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMM', sont égaux; car, si l’on considère un rayon vecteur voisin SNN', les cordes MN et M' N' sont, comme nous l’avons déjà fait observer, antiparallèles par rapport à l’angle MSN; donc les angles S M'N', SNM, sont égaux; or, à la limite, le premier devient l’angle S M'T, et l’autre, l’angle SMT1} opposé par le sommet à l’angle TMM'; donc, MM' T = TMM'. Pour éviter toute ambiguïté dans la manière de compter les angles, on peut remarquer que les deux tangentes correspondantes forment les deux côtés d’un triangle isocèle TMM', dont la base est la partie MM' du rayon vecteur comprise entre les deux points de contact.

Soient actuellement (fig. 241) deux courbes Ma et MA qui se coupent en M, et les courbes inverses M'a' et M'A'; il faut prouver que l’angle des deux premières, c’est-à-dire l’angle /MT de leurs tangentes, est égal à l’angle /M'T des deux autres. Or, on a, d’après l’alinéa précédent,

/MM' = /M'M, TMM' = TM'M, d’où, en retranchant,

/ M M' — TMM' ou / MT = / M' M — T M' M ou /M'T.

Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce mode de transformation des figures est très importante : elle entraîne la similitude des triangles infiniment petits correspondants, de sorte que deux figures inverses l’une de l’autre sont deux figures semblables dont le rapport de similitude varie d’un lieu à un autre.

Les trois théorèmes précédents sont généraux, c’est-à-dire relatifs à des figures quelconques; les trois suivants sont particuliers et relatifs à la droite et au cercle.

THÉORÈME

388. La figure inverse d'une ligne droite est une circonférence passant par V origine.

Nous laissons de côté le cas où la droite donnée passe par l’origine. Dans cette hypothèse, cette droite elle-même est évidemment son inverse.

Considérons donc une droite AB ne passant pas par l’origine S (f/g. 242, 243). Menons du point S sur AB deux droites, l’une SP perpendiculaire, l’autre SM oblique à AB, et prenons respectivement sur ces lignes les inverses P' et M' des points P et M. Les droites MP et M'P' étant antiparallèles (386), l’angle SM'P' doit être droit comme l’angle SPM. Le

GÉOMÉTRIE PLANE

lieu du point M' est donc la circonférence décrite sur SP' comme diamètre.

Réciproquement, la figure inverse d'une circonférence passant par l’origine est une droite perpendiculaire au diamètre qui aboutit à l’origine.

En effet, soient {fig- 242, 243) P l’inverse de l’extrémité P' du diamètre SP' et M l’inverse d’un point quelconque M' de la circonférence. Les droites MP et M'P' étant antiparallèles, l’angle SPM doit être droit

Fig. 24 2.

comme son égal SM' P'. Le lieu élevée par P sur SP'.

Fig. 243. x

point M est donc la perpendiculaire

ScOLIE .

389. Les distances SP et SO de l’origine à la droite et au centre du cercle sont liées par la formule

2SO.SP = fi,

où fi est la puissance donnée. Cette relation a lieu en grandeur et en signe.

On voit par là qu 'une droite AB et un cercle O situés d’une manière quelconque dans un plan {fig. 242, 243) peuvent toujours être considérés comme des figures inverses l’une de Vautre. 11 suffit de choisir pour origine S l’une des extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite, c’est-à-dire (401) l’un des centres de similitude du système formé par la droite et le cercle, et pour puissance (i la valeur en grandeur et en signe du double produit des distances de l’origine à la droite et au centre du cercle.

THÉORÈME

390. La figure inverse d’une circonférence, lorsque l’origine est intérieure ou extérieure à la courbe, est une circonférence.