LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

Soient S et y. l’origine et la puissance données, et p la puissance de l'origine S par rapport au cercle proposé O {fîg. 244)- La figure inverse du cercle O par rapport à l’origine S et à la puiss ance p est évidemment le cercle O lui-même ; car, puiscpie l’on a

SM.SN =p,

tout point M de ce cercle a pour inverse le point N où le rayon vecteur correspondant rencontre le cercle une second, e fois.

Par suite (385), la figure inverse du cercle O par rapport à l’origine S et à la puissance y. est encore un cercle, puisque cette figure doit être homothétique à la précédente ou au cercle O lui-même, S étant le centre

de similitude et — le rapport de similitude.

ScOLIES.

391. O et II étant le centre et le rayon du cercle donné, O' et \V le centre et le rayon de son inverse, on aura donc

SO' y. , w

SO p R

Le signe h- se rapporte au cas où, y et p étant de même signe, l’homolhétie est directe, et le signe — au cas où, y. et p étant de signes opposés, l’homothétie est inverse.

D’ailleurs, si p' est la puissance de l’origine S par rapport au cercle O', 011 a, d’après les relations ci-dessus,

d'où

SO'2 — R'2 SO2— llT

On voit, par ces formules, que deux cercles O et O', situe's d’une mc- R. et de C. — Tr. de Gcom . (Ire Partie). 18

GÉOMÉTRIE PLANE

ni ère quelconque clans un plan , peuvent toujours être regardes comme inverses l’un de Vautre. Il suffit de prendre pour origine S l’un quelconque des deux centres do similitude et, pour puissance, la moyenne géométrique entre les puissances p et p du point S par rapport aux deux cercles, en donnant à cette moyenne le signe de p ou le signe opposé, suivant que S est un centre de similitude externe ou interne.

On aurait pu déduire tous ces résultats du n° 378. Les points inverses l’un de l’autre ne sont autres que ceux que nous avons appelés antihomologues. On peut donc dire que les tangentes aux points correspondants de deux cercles inverses se coupent sur l’axe radical des deu x cercles.

392. Les centres O et O' de deux cercles inverses ne sont pas des points correspondants. Il y a donc lieu de se demander quels sont les inverses de ces centres.

Désignons {fig. 244) par I' l’inverse du centre O et par A, B, A', B', les points où la ligne des centres SOO' rencontre les deux cercles. Nous aurons