SO .SI = | J
d’où
T SO /j.SO' SO' SA' + SB'
SF ~ y ~ ~ >' ” Fs A'. SB' ’
c’est-à-dire
SF = SA' SB7'
Le point I' est donc (332) le conjugué harmonique de S par rapport au diamètre du cercle O'. Ainsi, l’inverse clu centre de V un quelconque | des deux cercles est le pied de la polaire de l’origine par rapport à l’autre cercle (340, 311).
On voit par là que, pour que deux cercles aient pour inverses deux cercles concentriques , il faut et il suffit que V origine ait même polaire par rapport ci ces deux cercles.
Par suite, tout faisceau cle cercles du premier genre peut , par inversion, être transformé en un système cle cercles concentriques ; il suffit de prendre pour centre d’inversion l’un des points limites e ou f (382), puisque, e et/ étant conjugués harmoniques par rapport à chacun des diamètres cia! , bb\ cc\ la polaire du point e est la même par rapport à tous les cercles du faisceau.
Tout faisceau de cercles du second genre peut, au contraire, être transformé par inversion en un faisceau de droites; il suffit évidemment (382) de choisir pour centre d’inversion l’un des points fondamentaux P ou P'.
THÉORÈME
393. Les cercles inverses (A') et ( co') de deux cercles tangents (A) et (w) sont aussi tangents, puisque P inversion conserve les angles ; d'ailleurs , les contacts entre (A') et (o/) et entre (A) et (u>) sont semblables ou dissemblables, suivant (pie les puissances du centre d’inversion S par rapport aux deux cercles primitifs (A) et (os) ont le meme signe ou des signes opposes ( f/g . 2 1).
Pour le prouver, prenons la constante d’inversion égale à la puis- I sancc de S par rapport à (A); ce cercle se transformera alors en luimême (390). Désignons par p et par m la puissance du point S par rapport à (A) et par rapport à (w); par A, w, co', les centres des cercles (A), (10), (co'); enfin, par a et a' les points où (A) est touché respectivement par (w) et par (w').
rig. 244,.
Le centre S d’inversion étant à la fois sur la ligne des centres coco' et sur la droite ad qui joint deux points correspondants, le triangle Acotu' coupé par la transversale S ad donne
a o) d A Sw'
a A a co b w
Mais, puisque l’on prend p pour constante d’inversion, on a
Sto' p
Sco ttt
Donc, suivant que p et 777 auront le môme signe ou des signes opposés, les deux premiers rapports de la relation (1) seront de même signe
GÉOMÉTRIE PLANE
ou de signes contraires. D’ailleurs, le contact en a est interne ou externe, suivant que le rapport ^ est positif ou négatif; de même, le
contact en a est interne ou externe, suivant que le rapport est positif ou négatif. Donc, les contacts en a et en a seront semblables ou dissemblables, suivant que p et w seront de même signe ou de signes
contraires.
THÉORÈME
394. Si l’on considère deux cercles quelconques et leurs inverses, en désignant par cl , r, r\ la distance des centres et les rayons clés deux premiers cercles, et par o, p, p', les éléments analogues pour les deux autres cercles, on a
cP — 7-2 ,>'2
rr
11 faut prendre le signe 4- ou le signe — suivant que les puissances de l’origine par rapport aux deux cercles primitifs sont de même signe ou de signes opposés.
En effet, soient S l’origine, O et O' les centres des premiers cercles, ta ei w' les centres des cercles inverses, A et a les projections de O et de o ) sur la droite SOW (J/g. 245 ). Désignons par jj. la constante d’inversion, et par /?, p. rn, les puissances de l’origine S par rapport aux cercles O, O', o>, w'.
Fig.
Le triangle SOO' donne
cl 2 = SO2 4- SO'2 — 2 SA . SO\
ou (372)
cl 2 - 7*2— r' 2 = p -g- //— 2 SA . SO', et l’on aurait de même
i2 - p2 - p'2 = 777 4- 77j' - ‘iSa.Sta'.
