VII. — Quelques problèmes remarquables

PROBLÈME n‘ APOLLONIUS : CERCLE TANGENT A TROIS CERCLES DONNÉS.

100. Supposons le problème résolu, et soit (u>) un cercle tangent à trois cercles donnés (A), (B), (C), dont nous désignerons le centre ra<dical par S (Jîg. 247).

282 GÉOMÉTRIE PLANE

Si Ton fait l’inversion de la figure en prenant pour centre d’inversion le point S et pour coefficient d’inversion la puissance de S par rapport à chacun des cercles (A), (B), (C), chacun de ces trois cercles se transformera en lui-même, et le cercle (co'), inverse de (co), sera un second cercle tangent à (A), (B), (C); les points de contact a', b\ c\ de(co') avec (A), (B), (C), sont d’ailleurs situés sur les droites S«, S b. Sc, qui joignent le point S aux points de contact de Cm) avec (A), (B), (C).

Les puissances de S par rapport à (A) et (co) étant les mêmes que celles de S par rapport à (B) et (co), il résulte du n° 393 que les contacts en b et en b' sont semblables ou dissemblables, en même temps que les contacts en a et en a! ; par suite, les couples de cercles (A) et (B), (co) et (co'), satisfont aux conditions du n° 380. S est donc un centre de similitude de (co) et (co'), et le point de concours G 'de cib et de a' b' est à la fois un centre de similitude de (A) et (B) et un point de l’axe radical de (co) et ( co’). De même, le point do concours B' de ac et de a! c' est un centre de similitude de (A) et (C) et un point de l’axe radical de (co) et (w'). Par suite, l’axe radical clc (co) et (co') est un axe de similitude G' B' A' des trois cercles (A), (B), (C).

Il résulte de là que les centres co et co' des deux cercles associés (co ) et (co') sont situés sur la perpendiculaire abaissée de S sur A'B'G'; car la droite coco' doit passer par le centre de similitude S de (co) et (co') et être perpendiculaire à l’axe radical A'B'C' de ces deux cercles.

Enfin, les points a et a! des cercles (co) et (co') étant anti-homo logucs, les tangentes en a et en a' doivent se couper sur l’axe radical