LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

| A'B'C' de ces deux cercles (378); eu d’autres termes, A'B'C' doit contenir le pôle de ad par rapport au cercle (A) et, inversement (333), la corde aa' doit contenir le pôle p de A'B'C' par rapport au cercle (A).

On est ainsi conduit à cette conclusion :

S’il existe un cercle (uo) tangent à trois cercles donnés (A), (B), (C), il en existera un second ( m! ) ; ces deux cercles associés (w) et ( to') toucheront respectivement le cercle (A) aux points a et a', où ce cercle est rencontré par la droite S p qui joint le centre radical S des cercles donnés au pôle p par rapport à (A) de l’un des axes de similitude des 'mêmes cercles ; les centres m et m' seront les points où les droites qui joignent le centre A aux points a et a ' rencontrent la perpendiculaire SZ abaissée de S sur l’cixe de similitude considéré.

Comme il y a quatre axes de similitude (366) des trois cercles (A), (B), (C), on voit que le nombre des couples de cercles tangents à trois cercles donnes est au plus égal à quatre.

Pour qu’un tel couple existe, il faut évidemment, d’après ce qui précède, que la droite S p qui répond à l’axe de similitude considéré coupe le cercle (A). Cette condition est d’ailleurs suffisante. En d’autres termes : Si la droite S p coupe (A) en deux points a et a! et si to et to' sont les points où A a et A cl rencontrent SZ, les cercles (to) et ( to' ) décrits, l'un du point to comme centre avec ma pour rayon , l’autre du point to' comme centre avec m'a' pour rayon, toucheront l’un et l’autre les trois cercles donnés (A), (B), (C).

En effet :

D’abord, le cercle (to) touche (A) au point a , puisque ce point est commun aux deux cercles (to) et (A) et se trouve situé sur la ligne des centres toA. De môme, le cercle (to') touche (A) au point a! . Il reste à prouver que (to) et (to') touchent l’un et l’autre (B) et (C).

Or, désignons ( fig. 2471) par b et b’ les points de (B) qui sont antihomologues de a et a’ par rapport au centre de similitude C'. 11 existe (379) un cercle (X) touchant (A) et (B) en a et en ainsi qu’un cercle (X') touchant (A) et (B) en a! et en b' ; le centre X du premier cercle est à la rencontre de A a et de B b, et le centre X' du second est à la rencontre de A a! et de Bô'. Si G' est un centre de similitude directe de (A) et (B), les contacts en a et b seront semblables, ainsi que les contacts en a! et b': si, au contraire, C' est un centre de similitude inverse, les contacts en a et b seront dissemblables, ainsi que les contacts en a! et b' (366). Les contacts en a' et b' sont donc semblables ou dissemblables, en même temps que les contacts en a et b. Par suite, les cercles (X) et (X') et les cercles (A) et (B) satisfont aux conditions du n° 380, et l’on peut énoncer les conclusions suivantes : i° l'intersection de ad et de bb' appartient à l’axe radical de (A) et (B) et, comme ad coupe cet axe radical en S, la droite bb' passe par S;

GÉOMÉTIlIli PLANE.

2° le point S est un centre de similitude de (X) et (X') et, par suite, les trois points X, X' et S sont en ligne droite; 3° le point G' appartient à l’axe radical do (X) et (X') et, comme le polo Ai de ad par rapport à (A) est sur cet axe radical et que, d’autre part, ce pôle doit appartenir à la polaire A'B'C' du point p situé sur ad, on voit que A'B'C' contient deux points de l’axe radical de (X) et (X') et se confond avec cet axe : il en résulte que la ligne des centres XX' est perpendiculaire à A’ B’ G'. Les points X et X’ étant sur SZ, aux intersections de cette droite avec A a et A a, coïncident avec les centres w et to', de sorte que les cercles (w) et (u/), coïncidant eux-mêmes avec les cercles (X) et (X'), touchent le cercle (B). Un raisonnement analogue prouverait que (to) et (to') touchent aussi (C).

Remarquons, en terminant, que, dans la règle énoncée ci-dessus, on peut substituer le cercle (B) ou le cercle (C) au cercle (A). Par consô- j quent, si l’on désigne (fîg* 247) par p, q, r, les pôles par rapport à (A), (B), (C), d’un même axe de similitude, les droites S p, S q, S r, couperont respectivement les cercles (A), (B), (C), dès que l’une de ces droites coupera le cercle correspondant.

Cette belle solution appartient à Gergonne. Nous en avons toutefois modifié l’exposition, de manière à ne laisser subsister aucune ambiguïté sur la façon d’associer les points de contact, ni aucune hypothèse arbitraire sur l’existence des cercles tangents, existence que Gergonne admet a priori.

401. Pour pouvoir appliquer la solution qui précède aux cas particuliers que l’cnoncô du problème comporte, il faut savoir ce que deviennent les éléments que nous avons appelés pôle, polaire, axe radical, centre de similitude, lorsque, dans une figure qui renferme des cercles,