LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

un ou plusieurs de ces cercles se réduisent à des points ou à des droites parce que leurs rayons deviennent nuis ou infinis. La connaissance de ces résultats, que nous allons exposer très rapidement, est d'ailleurs indispensable pour la discussion d’un grand nombre de problèmes.

i° La polaire L d’un point P par rapport à un point O (cercle de rayon nul) est la perpendiculaire à OP menée par O.

i° Le pôle P d'une droite L par rapport à un point O est le point O lui-même.

Ces deux principes résultent de ce que le produit des distances du point O au pôle P et à la polaire L doit être nul (341 ).

3° La polaire d’un point P par rapport à une droite oj (cercle de rayon infini) est la parallèle à oj menée par le symétrique du point P par rapport à la droite oj.

Car le cercle dégénère en réalité en deux droites parallèles qui sont la droite w et une droite rejetée à l’infini. Or, si l’on mène par P une sécante quelconque qui rencontre en 0 et en l les droites oj et L, le système P, 0, /, co, sera harmonique, ce qui exige que o soit le milieu de /P; donc, la polaire L est le lieu des points obtenus en prolongeant les sécantes menées de P à oj de longueurs égales à elles-mêmes.

4° Le pôle P d’une droite L par rapport à une droite oj est le point à V infini sur oj.

Car les polaires de tous les points de L sont (3°) parallèles à oj; leur point do concours, c’est-à-dire le pôle do L, est donc à l’infini sur oj.

5° Les centres de similitude O et O' d’un cercle C et d’un point C' se confondent avec le point C'.

Cela résulte des formules du n° 260, dans lesquelles on fait IV = o: on trouve ainsi