PROBLÈME DE CAST1LLON

• 406. Inscrire clans un cercle donné un polygone dont chaque côte passe par un point donné.

La solution suivante, que nous empruntons à M. Petersen, offre un exemple très remarquable de la méthode par inversion. Le lecteur la saisira sans peine s’il veut bien faire la figure avec la règle et le compas. Nous avertissons d’ailleurs, une fois pour toutes, que, lorsque nous parlons de l’inversion d’une partie de la figure autour d’un point, il faut entendre que l’on construit la figure inverse de la partie considérée en prenant pour origine le point indiqué et pour puissance d’inversion la puissance de ce point par rapport au cercle donné.

Il convient de distinguer deux cas suivant que le nombre des côtés est pair ou impair. Nous nous bornerons aux cas du quadrilatère et du triangle, la généralisation n’offrant après cela aucune difficulté.

Cas du quadrilatère. — Soient a, h, c, cl les points par lesquels doivent passer respectivement les côtés AB, BC, CD, DA. Remarquons d’abord que le point A, après quatre inversions successives autour do a, b, c, cl , revient en A; en d’autres termes, si l’on prend successivement l’inverse Aa de A par rapport à a, l’inverse A ab de Aa par rapport à b, l’inverse A abc de A ab par rapport à c, et enfin l’inverse A abcd de A abc par rapport à cl, le point Aa/)Cd coïncidera avec A. Désignons par P le point obtenu par l’inversion de cl successivement autour de c, b, a , en sorte que l’inversion de P autour de a , b, c reproduirai. Cela posé, si l’on faisait successivement l’inversion de la droite PA autour de a, b, c, i, on trouverait d’abord un cercle passant par a, B, Pa, puis un cercle passant par a C, Paôc, ensuite un cercle passant par a/JC, D, P abc ou D, cl, et enfin une droite passant par A et par le point ciijCd que nous désignerons par Q et que l’on obtient en faisant l’inversion de a autour de b, c, d. Mais les droites QA et PA qui ré-