Deux triangles rectangles sont égaux

i° Lorsqu'ils ont V hypoténuse égale et un angle aigu égal;

2° Lorsqu'ils ont V hypoténuse égale et un côté de l’angle

Fis. 37.

droit égal

En effet :

i° Soient ( fig . 87 ) les deux triangles ABC, A' B'C', rectangles n A et en A', et dans lesquels on a

BC — B'C' et B = B'.

Portons le triangle A'B' C" sur le triangle ABC, de manière que B'C' coïncide avec BC, B' étant en B et C' en C. Si l’on fait tomber les deux triangles du même côté de BC, l’angle B' étant égal à l’angle B, le côté B' A' prendra la direction BA; dès lors, le côté C'A', qui est perpendiculaire sur B' A', devra prendre la direction de CA, qui est la seule perpendiculaire qu’on puisse abaisser du point C sur BA. Le point A' devant

tomber à la fois sur BÀ et sur CA viendra donc en À, et les deux triangles coïncideront.

2° Soient (fig. 37) les deux triangles ABC, A' B'C', rectangles en A et en A7, et dans lesquels on a

BC = B'C' et AC = A'C'.

Portons le triangle A' B'C' sur le triangle ABC, de manière que A'C' coïncide avec AC, A' étant en A et C' en C. Si l’on fait tomber les deux triangles du même côté de AC, le côté A' B' prendra la direction de AB, à cause de l’égalité des angles droits A et A'. De plus, C'B' deviendra une oblique égale à CB, issue du même point C, et située du même côté de la perpendiculaire CA. Donc CB et C'B' s’écarteront également du pied de cette perpendiculaire (45); en d’autres termes, le point B' tombera en B, et les deux triangles coïncideront.

THÉORÈME

51. Tout point M pris sur la bissectrice AD d’un angle BAC est également distant des deux côtés de cet angle (fig. 38).

Fig. 38.

La distance du point M au côté AB est la longueur de la perpendiculaire ME abaissée du point M sur AB; de même, la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AC, mesure la distance du point M au côté AC. il s’agit de démontrer Légalité de ME et de MF. Or cette égalité résulte de celle des deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont l hypoténuse AM commune et un angle aigu égal, savoir

MAE = MAF , puisque la droite AB est la bissectrice de l’angle BAC.