LIVRE I

LA LIGNE DROITE

52. Réciproquement, tout point M pris à L’intérieur d un angle BAC, à égale distance ME — MF de ses deux côtés AI* et AC, appartient à la bissectrice de cet angle.

Eu effet, en menant la droite MA, on obtient deux triangles rectangles, MAX, MAF, qui sont égaux comme ayant l’hypoténuse MA commune et un côté de l’angle droit égal : ME — MF. Donc l’angle MAE opposé au côté ME est égal à l’angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissectrice de l’angle BAC.

Corollaire.

53. La bissectrice d’un angle est le lieu géométrique des points qui , situés dans l’intérieur de cet angle, sont équidistants de ses côtés.

Par suite, le lieu des points d un plan équidistants de deux droites concourantes de ce plan est le système des deux bissectrices des angles de ces droites (23).

Scolie.

54. Pour établir un lieu géométrique, il faut toujours prouver une double proposition composée, soit d’une certaine proposition directe et de sa réciproque, soit de cette même proposition directe et de la proposition contraire.

Ainsi l’on démontrera : que tout point d’une certaine tigure jouit d’une certaine propriété (proposition directe), et que tout point jouissant de celte propriété appartient à cette figure (proposition réciproque);

Ou bien : que tout point d’une certaine figure jouit d’une certaine propriété ( proposition directe), et que tout point pris hors de cette figure ne jouit pas de cette propriété (proposition contraire).

Il est ordinairement plus simple d’adopter le premier mode, c’est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réciproque; cela tient à ce que la proposition contraire exige toujours une figure différente de celle qui est relative à la proposition directe, tandis que la réciproque n’exige pas en général une figure nouvelle.

GÉOMÉTRIE PLANE