LIVRE IV

LES AIRES

Ceci pose, abaissons sur l’hypoténuse BC la perpendiculaire AL, et prolongeons-la jusqu’en I où elle coupe le côté KH; menons les droites AK et DC. Le triangle ABK a même base BK que le rectangle BK1L, et il a aussi même hauteur, puisque son sommet À se trouve sur la droite IL : le triangle ABK équivaut donc (425) à la moitié du rectangle BKIL. De même, le triangle BCD équivaut à la moitié du carré ABDE, car il a même base BD et même hauteur, puisque son sommet C se trouve sur la droite EA. D’ailleurs, les deux triangles ABK et BDC sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir : l’angle ABK égal à l’angle CBD, comme formés tous deux d’un angle droit et de l’angle ABC du triangle donné; le côté BK égal au côté BC comme côtés d’un même carré; le côté AB égal au côté BD pour la même raison. De l’égalité des deux triangles ABK et BDC, on conclut l’équivalence du rectangle BKIL et du carré ABDE.

On démontrerait d’une manière analogue, en menant les droites AU et BF, l’équivalence du rectangle CIIIL et du carré ACFG.

Le carré BCHK, somme des deux rectangles BKIL et CIIIL, est donc équivalent à la somme des deux carrés ABDE et ACFG.

Corollaires.

439. Deux rectangles de même hauteur étant entre eux comme leurs bases, on a

BKIL BL CIIIL CL

BCHK “ BC Ct BCHK BC ’

d’où, en remplaçant les rectangles par les carrés équivalents,

ABDE ACFG BCIIK