LIVRE IV

LES AIRES

460. Deux figures semblables étant données , construire une figure semblable égale à leur somme ou à leur différence.

S’il s'agit de deux carrés dont les côtés soient a et b{ay>b), le côté x du carré égal à leur somme sera l’hypoténuse du triangle rectangle ayant pour côtés de l’angle droit a et b; le côté y du carré égal à leur différence sera le second côté de l’angle droit d’un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l’angle droit (438).

S’il s’agit de deux polygones semblables A et B (A^>B), dont deux côtés homologues quelconques soient a et b, le côté homologue x du polygone semblable X = A-f- B sera l’hypoténuse du triangle rectangle construit sur « et //comme côlés de l’angle droit; le côté homologue y du polygone semblable Y = A — B sera le second côté de l’angle droit du triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l’angle droit (440).

Dans le cas de deux cercles ayant R et R' pour rayons, il suffit de remplacer dans l’alinéa précédent a et b par R et R', pour trouver les rayons x et y des cercles égaux respectivement à la somme ou à la différence des deux cercles donnés.

ScOLlE.

467. Soit à construire une droite x liée à plusieurs longueurs données b , c, d, e , par une expression de la forme

x fa2 -h b2 — c1 -+- d2 — e2.

On cherchera d’abord a = \jà2-\- b 2 à l’aide d’un triangle rectangle ayant a et b pour côtés de l’angle droit: cc sera l’hypoténuse de ce triangle ; puis (3 = \Jcc2 — c2, à l’aide d’un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et c pour côté de l’angle droit; [3 sera le second côté de ce triangle. De môme, on cherchera y — y/ (32 -t- d2 et x = y/y2 — e*> Par (ïeux autres triangles rectangles ayant, le premier (3 et d pour côtés de l’angle droit, le second y et e pour hypoténuse et côté de l’angle droit : x sera le second côté de ce dernier triangle.

R. et du C. — Fr. ae Geom. ( Ire Partie).

GÉOMÉTRIE PLANE

SCOLIE

4G8 11 résulte du dernier alinéa du n° 4G6 que si, sur les trois côtés d’un triangle rectangle ABC [fig. 266) comme diamètres, on décrit des demi-cercles, le demi-cercle décrit sur

Fig. 266.

l’hypoténuse sera équivalent à la somme des demi-cercles décrits sur les côtés de l’angle droit. En enlevant de part et d’autre les parties communes Ap B, AqC, qui sont ombrées sur la figure, on voit que la somme des deux lunules Am lip A, AnCqA, est équivalente à l’aire du triangle rectangle ABC. Cette proposition esî attribuée à Hippocrate.

PROBLÈME

4G9. Construire un polygone semblable à un polygone donné, et dont l’aire soit à celle de ce polygone dans le rapport de deux droites données M et N [fig. 267).

Fig. 267.

Mb

Supposons d’abord que le polygone donné soit un carré, et soit A son côté. Si X est le côté du carré cherché, on devra avoir (435)

La question est donc de construire un triangle rectangle tel,

LIYRRE IV. — LES AIRES. 33g

que le rapport des segments déterminés sur l’hypoténuse par la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit soit M

égal à — (439), et que le côté adjacent au segment qui correspond à N soit égal à À.

Or, en portant sur une droite indéfinie BC = M, CD = N, en décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre, et en menant à BD la perpendiculaire CE jusqu’à la rencontre de cette demi-circonférence, on obtiendra un triangle rectangle BCD dans lequel les segments de l’hypoténuse présenteront le rapport demandé. 11 en sera de même (213) pour tous les triangles rectangles semblables qu’on formera en menant entre les côtés de l’angle droit BED, prolongés ou non, une parallèle à l’hypoténuse BD. Parmi tous ces triangles, celui dont le côté, dirigé suivant ED, est égal à A, répond à la question.

On portera donc sur ED la longueur EG = A; par le point G, on mènera à Bl) la parallèle GF jusqu’à la rencontre de EB, et FE représentera le côté du carré cherché. On a, en effet,

EF FII BC ÉF2 __ M ÏÏG- CD ou

470. Soit maintenant un polygone quelconque P, soient p l’un de ses côtés et x le côté homologue du polygone cherché X. On devra avoir, d’après l’énoncé,

d’ou

F rs et p~ y

Le problème se trouve donc ramené à trouver le côté d’un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de deux droites données, question que nous venons de résoudre. Quand on aura obtenu le côté x homologue de /?, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P.

GÉOMÉTRIE PLANE

471. Dans le cas de deux cercles, en désignant par x et r leurs rayons, on devra avoir

Tl X2 M X 2 M

7tT^ ~ N 0U 7» = N'

C’est encore le même problème.

ScOLIE.