FORMULE LE SIMPSON
474. Soit à évaluer approximativement l’aire comprise entre un arc de courbe quelconque AB, une droite fixe XY et les perpendiculaires AA', BB' abaissées sur cette droite par les extrémités de l’arc AB.
Nous supposerons d’ailleurs que l’arc AB soit, dans toute son étendue, conca\ e 'sers la droite XY, sans quoi on le décomposerait en plusieurs parties, et 1 on évaluerait séparément faire correspondante à chaque partie.
Divisons la base A'B' en un nombre pair de parties égales, en dix par exemple, et par les points de division C', D', E', F', G', II', F, K', L\ éle-
Fij. 2' O.
vons des perpendiculaires à XY. Désignons respectivement par yu y2, y 3, ... , J11, les perpendiculaires ou ordonnées AA', CC',DD', . . ., BB', et par h la distance constante de deux ordonnées consécutives.
Soit m la somme des aires des trapèzes inscrits compris entre les ordonnées successives. A l’extrémité de chaque ordonnée de rang pair, menons la tangente en la limitant aux deux ordonnées qui comprennent celle que l’on considère; nous formerons ainsi une suite de trapèzes circonscrits compris entre les ordonnées successives de rang impair; représentons par M la somme de ces trapèzes circonscrits.
L’aire cherchée est évidemment comprise entre m et M, et si l’on prend pour valeur approchée de cette aire une quantité S comprise entre m et M, l’erreur correspondante sera moindre que la plus grande des différences M — S, S — rn.
La méthode de Simpson consiste à prendre S = /// -+- ^ (M — /w);
l’erreur est donc alors moindre que - (M — /n)
GÉOMÉTRIE PLANE
Or, si l’on désigne par P la somme des ordonnées de rang pair et par 1 la somme des ordonnées de rang impair autres qme les extrêmes, augmentée de la demi-somme de ces ordonnées extrêmes, on a
M = 2 hy=i -+- 2///4-H. . .4- 2/i/io = a/fP,
m = A-niZî ACü±z» = /i(P +. 1),
O Ol ' '
et, par suite,
Il en résulte, pour la valeur approchée de l’aire, S = // ^P -h I avec une erreur moindre que 2 h. — , »
Cette démonstration fort simple nous a été communiquée par M. Mantion.
