LIVRE IV

La vraie valeur est - = omq,7854. La formule de Simpson donne

omq,78i8, celle de Poncelet donne omq,7822.

II — Sur la différence entre la longueur d’un arc de cercle

et celle de sa corde.

LEMME

475. L’aire cl’un triangle isocèle PNQ, inscrit dans un segment circulaire moindre qu’un demi-cercle , est plus petite que le cube de l'arc a qui limite ce segment, divisé par 16 fois le rayon R [fi g. 272) .

Car cette aire, ayant pour expression (428, i°)

est moindre que

THÉORÈME

476. La différence entre un arc de cercle ABA' moindre qu'une demicirconférence et sa corde AA' est plus petite que le cube de l’arc divisé par 24 fois le carré du rayon [f/g. 272).

Fig. 272.

Désignons par « l’arc ABA', par c sa corde AA' et en général par la corde de l’arc -y

B étant le milieu de l’arc ABA', l’aire du segment ADB a pour mesure (457)

ou

GÉOMÉTRIE TL A NE

D’autre part, si l’on prend le milieu D de l’arc AB, puis les milieux E et E, des arcs AD et DB, et ainsi de suite, et si l’on désigne respectivement par t{ , t2, . . . , les aires des triangles ADB, AED, , l’aire du segment sera la limite de la somme

t( + 2?,+ 273-l-...H-2“ tn

Donc, comme, d’après le lemme précédent (475), on a

on aura aussi

i Va3 a3 o3 iÜB [yi3 ^ 2à + 27 1 J

ou

aJ

3aB2

c’est-à-dire

ou enfin

Pour présenter une application de cette formule, cherchons, par exemple, quel doit être le rayon B d’un cercle pour cpie la différence entre un arc, de 6o mètres et sa corde n’atteigne pas i millimètre.

Il suffit, d’après la formule (i), que B satisfasse à l’inégalité

d’où

iohGoa

ou B > 3ooo

Le rayon du cercle devra donc être au moins égal à 3 kilomètres.

Remarque. — La formule (1) répond à la formule trigonométrique connue

(2) x — sin x

En effet, si l’on suppose B = 1 et a — 2#, on a

c — 2 sin#,