III. — Sur les maximums et les minimums des figures planes

477. On attribue à l’École de Pythagore les premières recherches, par voie synthétique, sur les maximums et les minimums des figures. En 1782, Lhuilier [De relatione mutuel capacitatis et terminorum Jigm’arum) a résumé toutes les découvertes faites sur ce sujet depuis les Grecs jusqu’à R. Simpson; il a corrigé avec une admirable sagacité les erreurs de ses devanciers et accru considérablement par ses propres découvertes le domaine de cette théorie. Enfin, en 1842, Steiner, dans deux Mémoires [Journal de C relie, t. XXIV), véritables chefs-d’œuvre de Géométrie synthétique, a fait connaître, pour la recherche des maximums des figures planes, cinq méthodes, dont les deux premières s’appliquent à la sphère. Nous exposerons ici la première de ces méthodes, qui surpasse d’ailleurs les autres en élégance et en généralité.

THÉORÈME

478. Entre tous les triangles isopérimètres et de même base AB , le triangle isocèle ACB est un maximum [fi g. 273).

Fig. 273.

En effet, soit ADB un triangle non isocèle construit sur la base AB, audessus d’elle et tel que AD -h DB = AC -h CB. Les triangles ACB, ADB, ayant une partie commune AEB, il s’agit de prouver que le triangle BED est moindre que le triangle AEC. Or si l’on prend sur EA et sur EC, EF = EB et EG = ED, les triangles FEG, BED, seront égaux, et il suffira de faire voir que le triangle FEG est compris dans AEC, c’est-à-dire que le point F tombe entre E et A, et le point G entre E et C.

D'abord F tombe entre E et A; car l’angle (3, égal à a, est supérieur à 7; donc EA est plus grand que EB ou EF.

En second lieu, G tombe entre E et C; il suffit pour le prouver d’établir l’inégalité

FG -b GE < FC 4- CE

GÉOMÉTRIE PLANE

ou, en ajoutant AF -t- FE de part et d’autre,

AF h- FG 4- GE 4- FE < AF -t- FC 4- CE 4- EF;

mais on a