EG = ED, FG = BD, EF = EB

l’inégalité précédente ne diffère donc pas de

AD -h DB ou AC + CB < AF 4- FC 4- CB,

c’est-à-dire de l’inégalité qui est évidente.

AC < AF + FC,

479. Réciproquement, entre tous les triangles de même base et de même aire , le triangle isocèle G a le périmètre minimum.

En effet, soit U un triangle non isocèle ayant la môme base et la même aire que G, et G, un triangle isocèle ayant la même base et le même périmètre que U ; d’après le théorème précédent, G, sera plus grand que U, c’est-à-dire que G; or, de deux triangles isocèles construits sur la même base, celui qui a l’aire la plus grande a le périmètre le plus grand; donc le périmètre de G,, c’est-à-dire le périmètre de U, est plus grand que celui de G.

Nous supprimerons dans ce qui suit les démonstrations des réciproques; ces démonstrations seraient toutes analogues à la précédente.

Corollaire.

480. Entre tous les triangles de même périmètre , le triangle équilatéral est un maximum ; car le triangle maximum correspondant au périmètre donné doit être isocèle, quel que soit celui de ses côtés que l’on prenne pour base.

Réciproquement, entre tous les triangles équivalents , le triangle équilatéral a le plus petit périmètre .

THÉORÈME

481. Entre tous les triangles construits avec deux côtés , celui dans lequel ces deux côtés sont ci angle droit est un maximum.

En effet, si l’on prend l’un des côtés donnés pour base, la hauteur est moindre que l’autre côté donné, à moins que ce second côté ne soit perpendiculaire au premier; dans cette position, la hauteur est maximum, et par suite Taire Test aussi.

Corollaire.

482. Entre tous les triangles dont la somme de deux côtés est donnée , celui dans lequel ces deux côtés sont à la fois égaux et a angle droit est un maximum.