livre i

LA LIGNE DROITE

58. Par un point A, situé hors d’une ligne droite BC, on peut mener une parallèle à cette droite {fîg. 41 )•

Filî- 41.

Abaissons du point A la perpendiculaire AD sur BC, et menons à AD la perpendiculaire AE. Les deux droites AE et BC, étant toutes deux perpendiculaires sur AD, sont parallèles.

Scolie.

59. On admet que, par un point pris hors d’une ligne droite , on ne peut mener qu une parallèle à cette droite . De là résultent les deux propositions suivantes ;

60. Si une droite A en rencontre une autre B, elle rencontre toute parallèle C à cette autre ; car si A était parallèle à C, du point de rencontre des droites A et B, on pourrait mener deux parallèles à C.

61. Peux droites A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car, si A et B se rencontraient, de leur point de concours on pourrait mener deux parallèles à C.

THÉORÈME

6'2. Lorsque deux droites AB et CD sont parallèles, toute droite EF, perpendiculaire sur l'une AB, est perpendiculaire sur l’autre CD [fi g. 42)*

Fig. 42.

D'abord la droite EF rencontre CD (60). Concevons par leur

GÉOMÉTRIE PLANE

point d’intersection F la perpendiculaire à EF. Celte perpendiculaire, devant être parallèle à AB (57), coïncidera avec CD, puisque par le point F on ne peut mener qu’une parallèle à AB. Donc CD est perpendiculaire sur EF et, inversement, EF est perpendiculaire sur CD.

On énonce souvent ce théorème d’une manière plus rapide, en disant: Deux parallèles ont leurs perpendiculaires communes \

THÉORÈME

63. Lorsque deux droites parallèles AB, CD, sont rencontrées par une sécante EF, les quatre angles aigus formés autour des points d’ intersection G et H sont égaux entre eux, ainsi que les quatre angles obtus formés autour des mêmes points (fig. 43).

Fig. 43.

En effet, par le point O, milieu de GH, menons sur les parallèles AB et CD la perpendiculaire commune IK; 01 tombera dans l’angle aigu OGA, et OK dans l’angle aigu OHD (44). Or, les triangles rectangles OGI, OHK, ont leurs hypoténuses OG et OH égales, puisque le point 0 est le milieu de GH, et les angles aigus I0G, HOK, égaux comme opposés par le sommet : ils sont donc égaux et, par suite, l’angle OGÏ est égal à l’angle OHK. Chacun de ces deux angles étant d’ailleurs égal à son opposé par le sommet, on voit que les quatre angles aigus OGI, EGB, OHK, CHF, sont égaux entre eux.

De même, les quatre angles obtus AGE, OGB, DHF, OTIC, sont aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles aigus.

64. Réciproquement, deux droites AB et CD étant coupées par une sécante EF, si les quatre angles aigus ou les quatre angles

LÀ ligne droite.