LIVRE J

obtus formés autour des points d' intersection G et ïî sont égaux entre eux, les deux droites AB et CD sont parallèles .

Supposons [Jig. 44) que J’angle HGA soit égal à l’angle GilD, et concevons par le point H la parallèle à AB. Cette parallèle doit, d’après la proposition directe, faire avec GH un angle égal à l’angle HGA, et, par suite, à l’angle GHD; donc cette parallèle coïncide avec HD, et la droite CD est parallèle à AB.

Corollaires.

G5. Deux parallèles AB et CD {Jig. 4 4) étant coupées par une sécante EF, il résulte de ce qui précède :

Pifî- 41-

i° Que les angles allernes-internes i et 5, ou 4 et 8, sont égaux entre eux ;

2° Que les angles alternes-ex ternes 3 et 7, ou 2 et 6, sont égaux entre eux ;

3° Que les angles correspondants ï et 7, ou 2 et 8, ou 3 et 5, ou 4 et 6, sont égaux entre eux ;

4° Que les angles intérieurs d’un même côté 1 et 8, ou 3 et 5, sont supplémentaires ;

5° Que les angles extérieurs d'un même côté 2 et 7, ou 3 et 6, sont supplémentaires .

Et, réciproquement, deux droites coupées par une sécante sont parallèles :

Si les angles al ternes-interne s sont égaux ,

Ou si les angles alternes-externes sont égaux.

Ou si les angles correspondants sont égaux ,

Ou si les angles intérieurs d’un même côté sont supplémentaires,

Ou si les angles extérieurs d'un même côté sont supplémentaires.

R. et de C. —

Tr. de Géom. ( lra Partie).

GÉOMÉTRIE PLANE

SCOUE.

66. La proposition directe et la proposition réciproque étant démontrées, les propositions contraires sont vraies par cela même. Ainsi :

Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles formés ne satisfont pas aux relations que nous venons d’énoncer, les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier :

Lorsque deux droites font avec une transversale deux angles intérieurs d'un même côté dont la somme diffère de deux angles droits, ces droites se rencontrent du côté de la sécante où cette somme est inférieure à deux angles droits.

C’est l’axiome XI de la Géométrie d’Euclide; on préfère aujourd’hui prendre pour axiome la proposition énoncée au n°59.

67. Voici deux autres remarques souvent utiles : i° Deux droites [fig- 4^), l'une AB perpendiculaire , et Vautre CD oblique sur une troisième droite AC, doivent se rencontrer ; car la somme des deux angles intérieurs BAC, DCA, est moindre que deux angles droits.

Fig. 45.

Fig. 46.

2° Deux droites EF, GH ( fig . 46), respectivement perpendiculaires à deux droites CA et CB qui se coupent , doivent se rencontrer; car, en menant la droite EG, on voit que chacun des angles intérieurs FEG, HGE, est moindre qu’un angle droit : la somme de ces angles est donc inférieure à deux angles droits.

THÉORÈME

68. Deux parallèles AC, BD, comprises entre deux autres parallèles AB, CD, sont égales [fig. 4? ) •

En effet, menons AD. Les deux triangles ABD, ACD seront égaux comme ayant un chte commun AD adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir : l’angle BAD égal à l’angle ADC comme alternes-internes par rapport aux parallèles AD, CI),