LIVRE I

LA. LIGNE DROITE

coupées par la sécante AD; et l’angle ADB égal à l'angle DAG comme alternes-internes par rapport aux parallèles AG, BD, coupées par la même sécante. Donc le côté BD opposé a l’angle BAD est égal au côté AC opposé à l’angle ADC.

Fig. /,8.

Corollaire.

G9. Si les deux lignes AC et BD (Jig. 48) étaient perpendiculaires sur AB et, par suite, sur CD (62), elles mesureraient les distances des points A et B de la droite AB à la droite CD, Ces deux distances étant égales comme parallèles comprises entre parallèles, et les deux points A et B étant pris d’une manière quelconque sur AB, on voit que deux parallèles sont partout également distantes .

THÉORÈME

70. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires [Jig. 49)*

Fig* 49*

Fig. 47.

Supposons que les côtés parallèles soient deux à deux dirigés dans le même sens. Soient, par exemple, les angles ABC, DEF; BA et ED sont parallèles et dirigés l’un et l’autre de bas en haut; BC et EF sont parallèles et dirigés l’un et l’autre de gauche à droite : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, prolongeons le côté DE jusqu’au point H, où il coupe le côté BC. Les angles ABC, DUC, sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles BA, HD, coupées

GÉOMÉTRIE PLANE

par BC; de même, les angles DEF, DUC, sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées par DH. Donc, l’angle ABC est égal à l’angle DEF.

2° Supposons que les côtés parallèles soient dirigés deux à deux en sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, G EH ; BA et EH sont parallèles et dirigés, le premier de bas en haut, le deuxième de haut en bas ; BC et EG sont parallèles et dirigés, l’un de gauche à droite, l’autre de droite à gauche : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, en prolongeant les côtés de l’angle GEil au delà du sommet E, on forme un angle DEF égal d’une part à GEU comme opposé par le sommet, et d’autre part égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

3° Supposons enfin que deux côtés soient parallèles et de même sens, et les deux autres parallèles et de sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, DEG; BA et ED sont parallèles et dirigés l’un et l’autre de bas en haut; BC etEG sont parallèles etdirigés, le premier, de gauche à droite, le deuxième, de droite à gauche : les deux angles considérés sont supplémentaires.

En effet, en prolongeant GE au delà du sommet E, on forme un angle DEF qui est, d’une part, le supplément de DEG, et qui est, d’autre part, égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

En résumé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont égaux si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux dans le même sens , ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux en sens con traires ; ils sont supplémentaires si deux côtés parallèles sont de même sens et les deux autres de sens contraires .

Corollaire.

71. Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires.

a° Considérons deux angles aigus ABC, DEF [fi g* 5o); ie côté DE est perpendiculaire sur BA, et le côté EF est