IV. — Relations métriques entre les différentes parties

d’un triangle.

228. Si, du milieu d’un des côtés d’un triangle rectangle, on abaisse une perpendicu’aire sur l’hypoténuse, la différence des carrés des seg-

menls déterminés sur l’hypoténuse est égale au carré de l’autre côté du triangle.

229. Soit l’angle droit AOB placé au centre de la circonférence OA. D’un point quelconque C pris sur l’arc AB, on abaisse sur OA ou sur OB la perpendiculaire CD, qui rencontre en E le rayon, bissectrice de l’angle AOB : démontrer la relation

CD2 h- DÈ' = ÔÂ\

230. Si, d’un point pris dans le plan d’un polygone, on abaisse des perpendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segments ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales.

231. Étant donné un cercle O, on décrit un demi-cercle sur l’un de ses rayons OA, et l’on mène à ce rayon une perpendiculaire CDE qui coupe le cercle O en D et le demi-cercle OA en E : démontrer la relation

ALT = SAE2.

232. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

233. Soit G le point de rencontre des médianes d’un triangle ABC; démontrer la relation

ÂB2 h- ÂC2 4- BC2 = 3 (Âg’-h BG -t- CG )•

— En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d’un triangle à la somme des carrés de scs médianes.

234. Soient G le point de rencontre des médianes d’un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan: démontrer la relation

MA2 4 MB -i-MC2 = ÂGJh- BG2h-CG2+ 3MG2

233. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux trois sommets du triangle est constante et égale à un carré donné X2.

236. La somme des carrés do deux côtés d’un quadrilatère, plus la somme des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces côtés.

237. La somme des carres des diagonales d’un trapèze est égale à la

GÉOMÉTRIE PLANE

somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit des bases.

238. Si l’on prend deux points à égale distance du centre sur le diamètre d’un cercle, la somme des carrés des distances d’un point de la circonférence à ces deux points est constante.

239. Dans tout triangle ABC, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l’angle intérieur A est égal au carré de la moitié de BC, diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AC; de même, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l’angle extérieur A est égal au carré de la demi-somme des côtés AB et AC, diminué du carré de la moitié de BC.

210. Le sommet A d’un rectangle ABCD est fixe, les sommets B et D se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au sommet A?

241. Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d’un cercle donné en deux segments (additifs ou soustractifs) dont le produit soit constant.

212. Étant donnés un cercle O et un point P, trouver le lieu des points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente menée du point M au cercle O.

213. b et c étant les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, et h la hauteur qui correspond à 1’hypoténuse, démontrer la relation

211. <7, ô, r, étant les côtés d’un triangle rectangle en A, et h la hauteur qui correspond à l’hypoténuse a, le triangle qui a pour côtés b h- r, h et a -4- //, est aussi rectangle.

215. Si un triangle équilatéral a ses sommets respectivement situés sur trois droites parallèles, et si b et c sont les distances de la parallèle intermédiaire aux deux autres, le côté du triangle a pour expression

216. Dans tout trapèze, la différence des carrés des diagonales est à la différence des carrés des côtés non parallèles comme la somme des côtés parallèles est à leur différence.

217. Calculer les diagonales d’un trapèze, connaissant ses quatre côtés.

248. ABCD est un quadrilatère, E le milieu de la droite qui unit les milieux des diagonales; si du point E comme centre on décrit un cercle, montrer que la somme des carrés des distances d’un point P de ce cercle aux quatre sommets A, B, G, D, est constante et égale à la somme des carrés des distances du centre E aux mêmes sommets, plus quatre

fois EP .

249. Une corde PAQ coupe en A le diamètre d’un cercle sous un angle

de 45 degrés, démontrer que AP h- AQ est égale à deux fois le carré du rayon.

250. Si deux cordes se coupent dans un cercle, la différence de leurs carrés est égale à la différence des carres des différences de leurs segments.

251. Si l’on prend un point dans l’intérieur d’un rectangle, les sommes des carrés des distances de ce point à deux sommets opposés sont égales.

252. Si l’on mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangente interceptée par les tangentes menées aux extrémités d’un même diamètre est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal au carré du rayon.

253. Si, autour de deux points A et B d’une circonférence, on fait tourner les côtés d’un angle droit M, et que du point N où le côté BM coupe la circonférence on abaisse la perpendiculaire IsP sur le diamètre AA', le

t AM2 rapport

est constant.

254. Si l’on prend respectivement sur les trois côtés BC, CA, AB, d’un triangle ABC, trois points a, (3, 7, tels, qu’on ait

les perpendiculaires élevées par ces points sur les côtés du triangle concourent en un même point.