Dans un cercle donné, inscrire un triangle

i° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres côtés passant respectivement par deux points donnés surcetle droite;

2° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres côtés passant respectivement par deux points donnés d’une manière quelconque;

3° Tel que ses trois côtés passent respectivement par trois points donnés d’une manière quelconque.

GÉOMÉTRIE PLANE

277. Construire un triangle, connaissant le produit de deux côtes, la médiane relative au troisième côté et la différence des angles adjacents à ce côté.

278. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur relative au côté opposé et la somme ou la différence des deux autres côtés.

279. Par deux points donnés, mener à une circonférence donnée deux sécantes qui se coupent sur la circonférence, et dont les deux autres points d’intersection déterminent une corde parallèle à la droite qui joint les deux points donnés.

280. Étant données trois circonférences concentriques, construire un triangle semblable à un triangle donné et qui ait ses sommets respectivement situés sur les trois circonférences données.

281. Construire un carré, connaissant la somme ou la différence de sa diagonale et de son côté.

282. Étant données deux droites qu’on ne peut prolonger, mener par un point donné une droite qui aille passer par le point de concours inconnu des deux premières.

283. Mener par le point d’intersection de deux circonférences une sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux circonférences soient dans un rapport donné.

28i. On donne deux droites et un point dans leur angle; déterminer sur l’une d’elles un point qui soit à la même distance du point donné et de la seconde droite.

285. Partager, lorsque cela est possible, une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit égale à un carré donné.

286. Diviser une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit minimum.

287. Partager une droite donnée en trois parties telles, que la première et la seconde soient dans le rapport de deux droites données M et N, et la seconde et la troisième dans le rapport de deux autres droites données P et Q.

288. Déterminer le point dont les distances aux trois côtés d’un triangle sont proportionnelles à trois droites données.

289. Mener, par un point pris à l’intérieur d’un angle donné, une droite limitée aux côtés de l’angle et partagée par le point en moyenne et extrême raison.

questions proposées. 383

290. Construire un trapèze, connaissant les deux diagonales et les deux côtés non parallèles.

291. Par un point donné, faire passer une circonférence qui touche deux droites données.

292. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à deux circonférences données.

293. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à une droite et à une circonférence données.

29 i. Construire une circonférence tangente à deux droites données et à une circonférence donnée.

295. Construire une circonférence tangente à une droite donnée et à deux circonférences données.

§ Vï. — Polygones réguliers.

29G. En joignant de deux en deux les sommets d’un pentagone régulier ou en prolongeant ses côtés de deux en deux, les points d’intersection obtenus forment intérieurement ou extérieurement un autre pentagone régulier.

297. Si l’on prolonge deux côtés AB et CD d’un polygone régulier de centre O, séparés par un seul côté BC, jusqu’à leur rencontre en E, le quadrilatère AECO est inscriptible.

298. Prouver qu’on peut exécuter un pavage, soit avec des triangles équilatéraux, soit avec des carrés, soit avec des hexagones réguliers. — On ne peut le faire en employant des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.

299. On peut exécuter un pavage, soit en assemblant à la fois des carrés et des octogones réguliers de môme côté, soit en assemblant des triangles équilatéraux et des dodécagones réguliers de même côté, soit en assemblant des décagones et des pentagones réguliers de même côté.

300. Un polygone équilatéral inscrit dans un cercle est régulier. — Un polygone équilatéral circonscrit à un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair.

301. Un polygone équiangle inscrit dans un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair. — Un polygone équiangle circonscrit à un cercle est régulier.

302. Si l’on rapporte un polygone régulier à deux axes coordonnés, les coordonnées de son centre sont respectivement les moyennes arithmétiques

GÉOMÉTRIE PLAXE.

des coordonnées de ses différents sommets par rapport aux axes considérés.

— Application au triangle équilatéral.

303. Si des sommets d’un triangle équilatéral inscrit, on mène des perpendiculaires sur un diamètre du cercle circonscrit, l’ordonnée qui tombe d’un côté de ce diamètre est égale à la somme des deux ordonnées qui tombent de l’autre côté ; de même, l’abscisse qui tombe d’un côté du centre est égale à la somme des deux abscisses qui tombent de l’autre côté.

304. La somme des distances d’un point pris à l’intérieur d’un polygone régulier aux m côtés de ce polygone est égale à m fois l’apothème.

— Considérer le cas où le point choisi est extérieur.

305. Si d’un point P du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC,

on mène des droites à ses sommets, la somme PA +PB + PC est constante. — Si ABCP, A'B'CT', sont deux cercles concentriques dans lesquels soient inscrits les triangles équilatéraux ABC, A'B'C', on a