AP ' % ^ V CP ' 2 = AT ' 4- BT ' + CT

306. AB et AC étant les côtés du pentagone et du décagone régulier inscrits dans un cercle dont le centre est O, on mène la bissectrice de l’angle AOC qui coupe en D le côté AB : démontrer la similitude des triangles ACB et ACD, ainsi que celle des triangles AOB et DOB, et en déduire la relation connue

ab2= ac’+ôT.

307. Deux diagonales d’un pentagone régulier qui n’aboutissent pas au même sommet se coupent en moyenne et extrême raison.

308. Dans un polygone inscrit d’un nombre de côté pair, la somme des angles de rang impair est toujours égale à la somme des angles de rang pair.

§ VII. — Problèmes sur les polygones réguliers.

309. Sur une droite donnée comme côté, décrire un octogone régulier.

310. Inscrire un carré dans l’espace compris entre deux cercles sécants égaux.

311. Inscrire un triangle équilatéral dans un carré donné, en plaçant l’un de ses sommets soit en l’un des sommets du carré donné, soit au 1 milieu d’un de ses côtés.

312. Sur une droite donnée comme diagonale, décrire un parallélogramme dont les angles soient doubles l’un de l’autre. — Déduire de la solution de ce problème un moyen d’opérer la trisection de l’angle droit.

313. Connaissant le côté d’un polygone régulier inscrit dans un cercle, calculer le côté du polygone régulier inscrit d’un nombre de côtés deux fois moindre. — Appliquer cette formule à la recherche du côté du pentagone régulier, connaissant le côté du décagone régulier.

314. Sur le diamètre AB d’un cercle O, on construit un triangle équilatéral ABC; on divise AB en n parties égales, et l’on joint le sommet C à l’extrémité D de la seconde division ; CD prolongée coupe le cercle en F, et l’on demande de calculer la corde AF. — Examiner les cas particuliers de n — 3, 45 d.

315. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux sommets d’un polygone régulier est constante et égale à un carré donné.

316. Connaissant l’apothème du décagone régulier, calculer son côté et le rayon du cercle circonscrit.

317. Dans une circonférence O, on trace les deux diamètres perpendiculaires AB et CF ; du point D milieu de OC comme centre, avec DA pour rayon, on décrit un arc de cercle jusqu’à sa rencontre au point E avec le diamètre CF : démontrer que OE représente le côté du décagone régulier et AE celui du pentagone régulier inscrit.

318. Calculer les rayons des certes inscrit et circonscrit au triangle équilatéral, au carré, au pentagone, à l’hexagone, au décagone et au dodécagone, en prenant pour unité le côté du polygone régulier considéré.

319. Calculer l’apothème du pentagone, de l’hexagone, du décagone et du dodécagone régulier, en prenant pour unité le rayon du cercle circonscrit.

320. Connaissant le rapport du périmètre d’un polygone régulier inscrit au périmètre du polygone régulier circonscrit semblable, calculer les périmètres de ces deux polygones en prenant pour unité le diamètre du cercle donné.

321. m étant le rapport des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit d’un même nombre de côtés, et m' le rapport des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double, démontrer la relation

322. Inscrire dans un triangle équilatéral donné trois cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du triangle.