LIVRE IV

LES AIRES

§ I. — Mesure des aires des polygones.

373. Chercher l’expression de l’aire d’un trapèze, en le considérant comme la différence des deux triangles obtenus en prolongeant jusqu’à leur point de rencontre ses deux côtés non parallèles.

374. Étant données les bases et la hauteur d’un trapèze, calculer les aires des deux triangles dont il est la différence.

375. L’aire d’un trapèze est égale au produit d’un de ses côtés non parallèles par la perpendiculaire abaissée du milieu de l’autre côté sur le premier.

376. Par un point pris sur la bissectrice d’un angle, mener une droite telle, que la partie interceptée par les côtés de l’angle soit minimum ou qu’il en soit de même de l’aire du triangle déterminé.

377. Dans un angle donné, mener une droite minimum qui intercepte un triangle dont l’aire soit équivalente à un carré donné.

378. Si, dans un triangle rectangle, l’un des angles aigus est égal à ~

d’angle droit, l’aire du triangle équilatéral construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des triangles équilatéraux respectivement construits sur les côtés.

379. On donne un triangle ABC ; aux points B et C, et d’un même côté de BC, on mène à cette droite des perpendiculaires BD et CE qu’on prend égales à deux fois la hauteur du triangle ABC. Les points F et G étant les milieux des côtés AB et AC, démontrer que le triangle ABC est équivalent à la somme ou à la différence des triangles BDF, CEG, suivant que ses angles en B et en C sont ou non tous les deux aigus.

380. Les deux triangles opposés, qu’on forme en joignant un point quelconque pris dans l’intérieur d’un parallélogramme à ses quatre sommets, équivalent ensemble à la moitié du parallélogramme.

381. On donne un rectangle ABCD; on prend un point quelconque E sur BC, un point quelconque F sur CD. Démontrer que le rectangle ABCD équivaut au double du triangle AEF, augmenté du rectangle ayant pour dimensions les segments BE et DF.

382. Tout rectangle est moitié du rectangle qui a pour dimensions les diagonales des carrés construits sur ses côtés adjacents.

383. Si, par le milieu E de la diagonale BD d’un quadrilatère ABCD, on mène la parallèle FEG à la seconde diagonale AC, démontrer que la droite AG divise le quadrilatère en deux parties équivalentes.

384. ABCD étant un rectangle, on inscrit dans le triangle ABC un cercle qui touche AB en E et BC en F; on mène ensuite EH parallèle à AD et FK parallèle à CD. Démontrer que le rectangle KH est la moitié du rectangle ABCD.

385. Dans un quadrilatère, les perpendiculaires abaissées sur une diagonale des sommets opposés sont égales : on demande de le diviser en quatre triangles équivalents par des droites menées d’un point intérieur aux quatre sommets.

386. Si, des sommets d’un triangle jusqu’aux côtés opposés ou à leurs prolongements, on mène trois droites égales à une longueur donnée et si, d’un point intérieur, des parallèles sont menées à ces droites jusqu’aux mêmes côtés, la somme de ces parallèles est égale à la longueur donnée.

387. Si les diagonales d’un quadrilatère inscrit se coupent à angle droit, la somme des produits des côtés opposés représente une aire double de celle du quadrilatère donné.

388. P étant un point quelconque pris dans le plan d’un parallélogramme ABCD, démontrer que le triangle PBD est équivalent à la somme des triangles PAB, PBC.

380. ABCD étant un quadrilatère inscrit, démontrer par les propriétés des aires la relation connue