AC BA.AD -+- BC.CD BU ABTBC + AD.DC
390. D’un point O pris dans l’intérieur d’un triangle ABC, on mène jusqu’aux côtés BC, AC, AB, les droites 0<?, Oô, Oc; puis, parles sommels A, B, C, jusqu’aux mêmes côtés, les parallèles Acr', B b', Ce', aux premières droites; démontrer la relation
GÉOMÉTRIE PLANE
391. Démontrer par les propriétés des aires que, si l’on mène la parallèle cb à la base BC d’un triangle ABC, les droites B 6, Ce, se croisent sur la médiane qui correspond au sommet A.
392. Si l’on inscrit un cercle dans un triangle rectangle, ce triangle es) équivalent au rectangle qui a pour dimensions les segments déterminé sur l’hypoténuse par le point de contact du cercle inscrit.
393. Démontrer que l’aire d’un triangle en fonction de ses médianes a. (3, 7, est exprimée par la formule
394. La droite qui contient les trois projections d’un point A d’une circonférence O sur les côtés d’un triangle équilatéral inscrit passe par le milieu du rayon OA.
395. Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle.
390. Étant données les trois hauteurs h, //, h ", d’un triangle, trouver ses trois côtés et sa surface.
397. L’aire d’un triangle est égale au rayon du cercle circonscrit, multiplié par le demi-périmètre du triangle formé en joignant les pieds des hauteurs.
398. Deux triangles ont un sommet commun : quel est le lieu décrit par ce sommet lorsque, les deux bases restant fixes, la somme ou la différence des aires des deux triangles demeure constante? — Discussion. — Déduire du résultat obtenu que les milieux des trois diagonales d’un quadrilatère complet sont en ligne droite.
399. Les côtés consécutifs d’un quadrilatère quelconque étant représentés par <7, b , c, cl, et ses diagonales par m et n , faire de ce quadrilatère est exprimée p :r la formule
S — — \J ( ‘A nui -h a 2 — b1 h- c'1 — cl1) [•. imn — ci1 H- b‘ — c1 -+ -cl2),
Si le quadrilatère est inscriptible et si p désigne son demi-périmètre, cette formule devient
S = vA p — a ) [p — b) (p - c)[p — d).
Si le quadrilatère est un trapèze ayant n et c pour bases, on a
S — ~ * - - y/ ^ b H— cl — t- ci — c j ( b -+- cl -J- c — ci ) ( ci — c — t —-b — d^ ^ ci — c h- d — b ) ■
100. Trouver l’aire d’un quadrilatère quelconque en fonction des deux diagonales et des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.
401. Démontrer que l’aire d’un quadrilatère, à la fois inscriptible et circonscriptible, est égale à la racine carrée du produit de ses quatro côtés.
§ II. — Comparaison des aires.
402. On donne un triangle rectangle sur les côtés duquel on construit trois carrés; on joint les sommets consécutifs de ces carrés, et l’on demande l’expression de l’aire de la figure totale ainsi formée.
403. Un triangle étant donné, partager sa surface en moyenne et extrême raison par une parallèle à sa base.
404. Sur les côtés AB, AC, d’un triangle ABC, on construit des parallélogrammes quelconques ABDE, ACFG, dont on prolonge les côtés DE et FG jusqu’à leur rencontre au [ oint H; démontrer que la somme des aires de ces deux parallélogrammes équivaut à Faire du parallélogramme qui a pour côtés adjacents BC et une droite égale et parallèle à AH. — Déduire de ce théorème celui du carré de l’hypoténuse.
405. On donne un quadrant AOB et un point P quelconque sur l’arc AB; par ce point P, on mène à cet arc la tangente STP : S est son point d’intersection avec le rayon OA, T avec le rayon OB. On mène PM perpendiculaire sur OA, et l’on demande de prouver que le triangle AOB est la moyenne proportionnelle des triangles SOT et OMP.
406. Sur les côtés AB, AC, d’un triangle ABC, on marque deux points M et N, et sur la droite MN un point P, tels qu’on ait
BM AN PM ÂM ~ CN ~ PN ’
démontrer que le triangle BPC équivaut au double du triangle AMN.
407. Soit un triangle quelconque ABC ; on mène BD perpendiculaire et égale à AB, CE perpendiculaire et égale à AC, et l’on tire DE. Démontrer que la somme des carrés construits sur BC et sur DE équivaut à deux fois la somme des carrés construits sur les côtés AB et AC.
408. Par le milieu de chacune des deux diagonales d'un quadrilatère, on mène une parallèle à l’autre, et l’on joint le point d’intersection de ces deux parallèles aux milieux des quatre côtés; démontrer que le quadrilatère est ainsi partagé en quatre parties équivalentes.
409. Deux polygones d’un nombre pair de côtés sont équivalents, lorsque leurs côtés ont les mêmes points milieux
GÉOMÉTRIE PLANE
410. L’aire d’un polygone d’un nombre pair de côtés ne varie pas, lorsque tous les sommets de rangs pairs ou tous les sommets de rangs impairs décrivent des droites égales, parallèles et de même sens.
411. Si deux polygones semblables et intérieurs l’un à l’autre ont leurs côtés homologues parallèles, tout polygone à la fois inscrit dans l’un et circonscrit à l’autre a une aire moyenne proportionnelle entre les aires de j ces deux polygones.
412. Démontrer que la surface du triangle formé avec les médianes d’un triangle donné est les trois quarts de la surface de ce triangle. — En déduire : i° qu’entre tous les triangles qui ont la somme de leurs médianes constante, le triangle équilatéral est maximum; i° que de tous les trian- j gles équivalents, le triangle équilatéral est celui dans lequel la somme des médianes est minimum.
XIL — Aires du polygone régulier et du cercle.
413. Trouver en fonction du rayon du cercle circonscrit l’aire du dodécagone régulier.
414. L’aire de l’octogone régulier inscrit dans un cercle équivaut à j celle du rectangle qui a pour côtés adjacents les côtés des carrés inscrit j et circonscrit.
415. L’aire de l’hexagone régulier inscrit dans un cercle est les trois quarts de celle de l’hexagone régulier circonscrit.
416. L’aire de l’hexagone régulier inscrit est la moyenne proportionnelle de celles des triangles équilatéraux inscrit et circonscrit.
417. Étant donné un polygone régulier, on mène les diagonales qui sous-tendent successivement deux côtés ; ces diagonales déterminent parleurs intersections un autre polygone dont on demande la nature, et l’aire en fonction de celle du premier polygone.
418. On prend les points B et D à égale distance des extrémités de l’arc d’un quadrant AOC, et l’on mène sur OC les perpendiculaires BG et DII; démontrer que la figure mixtiligne BGHD est équivalente au secteur OBD.
419. Si l’on prend un point G sur le diamètre AB d’un cercle, l’aire comprise entre ce cercle et les cercles décrits sur les segments AG et GO comme diamètres équivaut au cercle qui a pour diamètre la moyenne proportionnelle des segments AC et CB.
420. Dans des cercles différents, les secteurs dont les angles sont en raison inverse des carrés des rayons sont équivalents.
421. La différence de deux secteurs semblables a pour mesure de son ire le produit de la différence des rayons par l’arc concentrique mené à ■gale distance des arcs considérés.
422. Si des demi-cercles sont décrits sur les trois côtés d’un triangle ectangle comme diamètres, et si l’on tourne vers l’intérieur du triangle eux décrits sur les côtés de l’angle droit, la somme des segments extérieurs correspondant aux côtés de l’angle droit, moins la somme des egments déterminés par l’hypoténuse, équivaut à l’aire commune aux lemi-cercles décrits sur les côtés.
423. Des demi-cercles OEDA, OFDB, étant décrits sur les rayons OA, )B, d’un quadrant OACB, démontrer: i° que les trois points A, B, D, ont en ligne droite; que les aires ACBD, OEDF, sont équivalentes; F que les aires OFDA, OEDB, équivalent chacune au quart du carré contruit sur le rayon OA.
424. Si AB et CD sont deux diamètres perpendiculaires d’un cercle O, .‘t si, du point D comme centre avec DA pour rayon, on décrit un arc de :ercle AEB, démontrer que Faire de la lune AEB équivaut à celle du riangle DAB.
425. Dans un triangle rectangle ABC, AD étant la perpendiculaire abaisiée du sommet sur l’hypoténuse, démontrer que les cercles inscrits dans es triangles ABD, ACD, sont proportionnels à ces triangles.
426. On donne deux droites qui se coupent en A, et l’on décrit une série de cercles tous tangents à ces deux droites et successivement tangents entre eux; OA étant la distance du centre du cercle le plus éloigné m point A, et OB son rayon, la somme des aires de tous les cercles esté
’aire du plus éloigné dans un rapport exprimé par
(OA -+- OB)2 4 O a". OB
427. Si le diamètre d’un cercle est divisé en n parties égales aux joints P,, P2, . . . , et si l’on décrit des demi-cercles au-dessus de AB sur les diamètres AP,, AP2,. . . , et au-dessous de AB sur les diamètres BP,, BP2,..., le contour de chaque figure telle que AP„,, BPOT est égal à la circonférence du cercle donné, et Faire de la même figure à la nieme partie de celle du cercle donné.
428. A étant Faire d’un polygone régulier inscrit et B Faire du polygone circonscrit semblable, démontrer que la différence B — A équivaut à Faire du polygone régulier semblable inscrit dans la circonférence qui a pour diamètre le côté du polygone B, ou encore à Faire du polygone régulier semblable circonscrit à la circonférence qui a pour diamètre le côté du polygone A.
GEOMETRIE PLANE
429. CBD étant un triangle rectangle en B dans lequel BD est le double
sorte que BÀ = C«; enfin, par A, on mène à la droite C b une parallèle qui coupe en E le prolongement de BD. Démontrer que la longueur BE diffère très-peu de la demi-circonférence dont BC est le rayon, et que le triangle BCE diffère très-peu du cercle correspondant; évaluer les deux différences.
430. A et B désignant les surfaces de deux polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit à un cercle, et A' et B' celles des deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double, démontrer les formules
et
tenues une nouvelle démonstration du théorème de Schwab (300).
431. r et a désignant le rayon et l’apothème d’un polygone régulier,
r' et a ' le rayon et l’apothème du polygone régulier de même aire et d’un nombre de côtés double, démontrer les formules
— Déduire de ces formules, en partant du carré dont l’aire est égale à a, un théorème analogue à celui de Schwab, c’est-à-dire le moyen d’obtenir
une série de nombres tendant vers
