QUESTIONS DIVERSES

DE GÉOMÉTRIE PLANE

482. Étant donnés les milieux des côtés d’un polygone convexe d’un nombre impair de côtés, déterminer ses sommets en employant seulement le compas.

483. Construire un triangle rectangle tel, qu’un de ses côtés soit la moyenne proportionnelle de l’hypoténuse et de l’autre côté.

484. Construire un triangle égal à un triangle donné et dont les trois côtés passent respectivement par trois points donnés.

483. On donne un demi-cercle de diamètre AB; soit C un point quelconque de ce diamètre. On décrit deux autres demi-cercles sur AC et CB comme diamètres, et l’on mène à AB une perpendiculaire par le point C. Démontrer que les deux cercles inscrits de part et d’autre de cette perpendiculaire sont égaux entre eux.

486. Si deux cercles de rayons égaux se coupent en A et en B et si, par le point A, on mène la droite AEC qui rencontre respectivement les deux cercles en E et en C, le triangle EBC est équivalent à l’aire comprise entre les deux arcs BE et BC et le côté EC.

487. Trouver, sur la droite qui joint les centres de deux triangles équilatéraux donnés, un point tel, que les sommes respectives des carrés de ses distances aux côtés des deux triangles soient dans un rapport donné.

488. Inscrire dans un cercle donné un triangle isocèle dont la somme de la base et de la hauteur soit égale à une droite donnée.

480. Étant donnés une circonférence et un triangle, trouver sur la circonférence un point tel, que la somme des carrés de ses distances aux trois sommets du triangle soit égale à un carré donné.

490. Étant donnés un cercle et une tangente à ce cercle, trouver sur sa circonférence un point dont la somme des distances à la tangente et à son point de contact soit égale à une droite donnée.

GÉOMÉTRIE PLAISE

40 j . On partage une droite donnée en moyenne et extrême raison, puis le plus grand segment trouvé en moyenne et extrême raison, et ainsi de suite indéfiniment. Vers quelle limite tend la somme des plus grands segments ainsi obtenus?

492. Étant données la hauteur d’un triangle et les différences de chacun des segments qu’elle détermine sur la base avec le côté adjacent, construire le triangle.

493. Si, du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle, on mène des droites aux sommets opposés du carré construit sur l’hypoténuse, la différence des carrés de ces droites est égale à la différence des carrés des côtés du triangle.

494. Étant donnés sur une droite trois segments AB = a, BG = b , DC = c, déterminer le point P d’où ces trois segments sont vus sous le même angle; discussion. — Application aux valeurs a — r, £ = 2, c = 3.

495. Soient six points pris dans un plan, les trois premiers A, C, E, sur une même droite, les trois autres, B, D, F, sur une autre droite. Démontrer que les trois intersections de AB et de DE, de BC et de EF, de CD et de AF sont en ligne droite.

496. Un cercle et un quadrilatère inscrit étant donnés, démontrer que, si l’on complète le quadrilatère :

i° Le carré de la troisième diagonale est égal h la somme des carrés des tangentes issues de ses extrémités; 20 Cette diagonale est égale à la somme des deux tangentes issues de son milieu; 3° Le cercle décrit sur cette diagonale comme diamètre coupe orthogonalement le cercle donné.

497. Dans un triangle ABC, on mène la bissectrice AK de l’angle au sommet et la hauteur AF correspondante; des extrémités B et C de la base, on abaisse sur la bissectrice AK les perpendiculaires BD et CE; démontrer que le cercle déterminé par les trois points F, D, E, passe par le milieu G de la base BC, et que l’aire du triangle équivaut au rectangle BD.AE ou CE. AD.

498. La courbe plane dont toutes les normales concourent en un même point, est une circonférence.

499. Démontrer que D étant un point quelconque de la base BG d’un triangle ABC, et AD la droite qui le joint au sommet du triangle, on a

Âb\cD-*-Âc\bD = ÂL>2 .BC-+- BC.BD.CD.

500. On donne un point C quelconque sur une droite AB; trouver sur CB et sur CB prolongée les points D et D' tels, que CD soit la moyenno

proportionnelle de AD et de BD, et CD' la moyenne proportionnelle de AD' et de BD'.

501. AB est divisée au point C en moyenne et extrême raison; sur le plus grand segment CA prolongé, on prend AD = CA, et sur CA on prend AE = BC; démontrer que les droites BD et BE sont aussi divisées en moyenne et extrême raison aux points A et C.

502. AB, AC, DE, DF, étant quatre droites qui, par leurs intersections trois à trois, forment quatre triangles, démontrer que les cercles circonscrits à ces triangles passent par un même point.

503. Si l’on prolonge la base d’un triangle de part et d’autre, de manière que chaque prolongement soit égal au côté adjacent, et si l’on fait passer un cercle par les extrémités obtenues et le sommet du triangle, la droite qui joindra ce sommet au centre du cercle sera la bissectrice de l’angle au sommet.

504. Trouver le lieu des points dont les puissances par rapport à deux cercles donnés sont égales et de signes contraires.

505. Si l’on partage un losange en losanges égaux par deux séries de parallèles aux côtés, la somme des cercles inscrits dans les losanges partiels équivaut au cercle inscrit dans le losange total.

506. Les côtés d’un triangle étant en progression arithmétique, a et a' étant le plus petit et le plus grand côté, R et r les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle, on a

6Rr — cia'.

507. Construire un triangle rectangle, connaissant la somme des deux côtés de l angle droit et la somme formée par T un d’eux et l’hypoténuse.

508. Du sommet A de l’angle droit d’un triangle rectangle ABC, on abaisse Xp perpendiculaire sur l’hypoténuse BC, pq perpendiculaire sur AB, qr perpendiculaire sur BC, rs perpendiculaire sur AB, et ainsi de suite indéfiniment; démontrer que le rapport de la somme de ces perpendiculaires à AB est égal au rapport de AB -t- BC à AC.

509. On a dans un cercle une corde CD parallèle à une droite de longueur donnée AB; la droite AC coupant le cercle une seconde fois en E, et la droite BE une seconde fois en F, démontrer que la droite DF coupe AB en un point fixe, quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-

même.

510. Dans un triangle inscrit ABC, on mène par le sommet A jusqu’à

4o6 GÉOMÉTRIE PLANE.

la base BC des parallèles AL) et AE aux tangentes en C el en B, démontrer la relation