BE AB

511. Le côté d’un polygone est divisé en n parties; sur chacune de ces parties, on construit par rapport au polygone donné un polygone semblable et semblablement placé; démontrer cpie la somme des périmètre, de tous ces polygones est égale au périmètre du polygone donné, et que la somme de leurs aires (si le côté du polygone donné a été divisé en n parties égales) est égale à la nùme partie de ce polygone.

512. Si Ton désigne par b, c , les trois côtés d’un triangle ABC, et si A a', B b' , Ce', sont les bissectrices de ses angles, on a la relation

AÔ'.Crt' Bc' =

a2 IPc*

513. Si A/7, B b, Ce, sont les droites menées des sommets d’un triangle aux points de contact des côtés opposés avec le cercle inscrit, on a

Ab .Ci7.Bc — Ac.B<7.C&.

514. Si l’on prolonge le côté AB d’un triangle ABC jusqu’en D, et si l’on prend CF = BD sur le côté CA, la base BC divise la droite DF dans le rapport des côtés AC et AB ; de même, la droite DF divise BC dans le rapport des segments AF et AD.

515. Soient deux cercles extérieurs l’un à l’autre dont les deux tangentes communes intérieures, qui correspondent aux rayons AC et BD, se rencontrent en O et coupent aux points K et H l’une des tangentes communes extérieures ; démontrer la relation

OC.OD -h AC. BD = OK.OH.

516. ABCD étant un quadrilatère quelconque et T le point de concours des perpendiculaires menées par les extrémités du côté AB aux côtés adjacents AD et BC, démontrer que la perpendiculaire menée par le point T sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le côté AB en deux segments proportionnels aux projections des côtés BC et AD sur AB.

517. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets d’un polygone régulier sur une droite menée par son centre, est nulle quelle que soit la direction de cette droite.

518. Étant donnés un triangle ABC et des droites A<7, B A, Ce, qui allant des sommets aux côtés opposés se rencontrent en un même point, on fait passer un cercle par les trois points a, A, c, lequel coupe les mêmes côtés du triangle en trois autres points a\ b\ c' ; démontrer que les droites ko', B A', Ce', se rencontrent aussi en un même point.

519. D’un point pris dans l’intérieur d’un triangle ABC, on mène des sommets aux côtés opposés les droites AU, BE, CF, puis on joint deux à deux les points II, E, F; démontrer que les droites AH, BE, CF, sont alors divisées harmoniquement. — Inversement, si une droite AH est divisée harmoniquement en G et D, et si F est un point d’une autre droite AB, les intersections E et C des droites FG et BD, FD et BH, sont en ligne droite avec le point A.

520. Par le sommet A d’un triangle ABC, mener une droite telle, que les perpendiculaires BB', CC', abaissées sur elle des extrémités de la base, forment des triangles rectangles ABB', ACC', équivalents.

521. L’aire d’un quadrilatère quelconque ABCD est égale à Faire du triangle ayant pour base l’un des côtés AB et pour sommet le point de concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et des triangles BCD et DAB.

522. Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion.

523. Étant donné un quadrilatère ABCD, si l’on prend à volonté un point M sur AB et un point N sur CD, et que l’on mène les droites AN et DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupent en Q, la droite P Q passe par un point fixe.

524. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par un point donné de leur axe radical.

525. Étant donnés deux points A et B et deux circonférences passant, l’une par A, l’autre par B, trouver sur l’axe radical de ces circonférences un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes déterminées par les sécantes CA et CB soit perpendiculaire à cet axe radical.

526. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle O, on forme un second triangle ABC ayant pour sommets les milieux des côtés du premier; des points A, B, C, on mène au cercle O des tangentes qui rencontrent en a, b, c , les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points a. b, c , sont en ligne droite.