GÉOMÉTRI K PLANE. - QUESTIONS PROPOSÉES
527. Deux triangles circonscrits à un cercle donné de rayon R et ayant leurs côtés parallèles deux à deux, déterminent en s’entrecoupant six triangles partiels; démontrer que le produit des surfaces de ces six triangles et des deux triangles donnés est égal à la seizième puissance du rayon R.
528. Les droites, qui joignent les milieux des diagonales de tous les quadrilatères formés en prenant quatre côtés consécutifs d’un pentagone, concourent en un même point.
529. Inscrire dans un cercle un polygone régulier de 17 côtés; montrer que le côté de ce polygone est sensiblement égal à la moitié de l’excès du côté du triangle équilatéral inscrit sur le côté de l’hexagone régulier inscrit, et trouver une limite de l’erreur que comporte cette valeur approchée.
530. Étant donnés deux triangles ABC, a(3y, tels que les côtés aS, 67, yx, du second passent respectivement par les sommets C, A, B, du premier, on demande d’évaluer l’aire du triangle a(3y en fonction de l’aire du triangle ABC et des rapports des segments que les côtés du triangle a(3y déterminent sur ceux du triangle ABC. — Déduire, de la formule obtenue, le théorème de Céva (311).
NOTES
NOTES
MESURE DES GRANDEURS
La mesure de l’étendue étant l’un des objets principaux de la Géomé- 1 trie, nous avons cru, pour éviter les répétitions et pour fixer les idées, devoir réunir les questions relatives à la mesure et à la proportionnalité des grandeurs, en les traitant d’une manière succincte, mais méthodique. Tel est l’objet de cette Note; les commençants pourront omettre les parties marquées d’un astérisque.
Mesure d’une grondeur commensurable avec l’unité
1. On acquiert la notion du nombre entier en considérant des objets distincts et semblables. Nous allons expliquer comment le problème de la mesure des grandeurs conduit à étendre cette première idée.
On ne considère, en Mathématiques, que les grandeurs dont on peut définir d’une manière précise l’égalité et l’addition ; tels sont, par exemple, les angles : nous avons dit en effet ce qu’on entend par angles égaux et par somme de deux angles. Une grandeur est plus grande qu’une autre quand elle est la somme de cette autre et d’une troisième de même nature.
Lorsqu’une grandeur est la somme de 2, 3, 4, ••• parties, égales à une autre grandeur de même espèce, on dit que la première est un multiple de la seconde, et que la seconde est une partie aliquote de la première.
Deux grandeurs sont dites commensurable s entre elles lorsqu’elles sont des multiples d’une troisième grandeur qu’on appelle alors leur commune mesure ; dans le cas contraire, elles sont incommensurables entre elles.
Pour mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cette grandeur et une autre de même espèce, arbitraire, mais bien connue, et qui reçoit le nom d 'unité.
Si cette commune mesure est l’unité elle-même, et que la grandeur proposée la contienne, par exemple, 3 fois sans reste, on dit que la grandeur est mesurée par le nombre entier 3.
Si cette commune mesure est une partie aliquote de l’unité, par exemple, si, l’unité étant partagée en cinq parties égales, la grandeur proposée est la somme de trois de ces parties, on dit que cette grandeur
est les trois-cinquièmes de l’anilé et qu’elle est mesurée par le nombre 1
trois-cinquièmcs, que l’on écrit - • Ou qualifie d’ailleurs un tel nombre
de fractionnaire pour le distinguer des nombres entiers seuls considérés j jusque-là.
En résumé, mesurer une grandeur cummcnsurablc arec V unité , c’est chercher combien celle grandeur renferme cl’unités ou de parties aliquotes de l’unité. Suivant que la grandeur est un multiple de l’unité ou un multiple d’une partie aliquote de 1 unité, le nombre qui exprime sa ! mesure est entier ou fractionnaire. Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable avec ! l’unité, car elle est un multiple de l’unité ou d’une partie aliquote de l’unité, j Deux nombres entiers ou fractionnaires sont égaux s’ils expriment les j mesures de deux grandeurs égales, l’unité étant la même.
La somme de deux nombres entiers ou fractionnaires est le nombre qui mesure une grandeur égale à la somme des grandeurs mesurées par les deux autres, l’unité étant la même.
Un nombre est plus grand qu’un autre quand il est la somme de cet autre et d’un troisième nombre.
C’est dans les Traités d’Arithmétique qu’il faut voir les conséquences de ces principes fondamentaux ; nous regarderons ici comme acquises toutes les règles du calcul des nombres entiers ou fractionnaires.
* Mesure d’une grandeur incommensurable avec l’unité.
2. Considérons maintenant une grandeur A incommensurable avec l’unité U.
On appelle valeur approchée de A par défaut à moins de -. n étant
entier ou fractionnaire, le nombre qui mesure le plus grand multiple de
la grandeur — contenu dans A. Ainsi, A contenant — un nombre entier n ’ n
de fois/;?, avec un reste moindre que — >
est la valeur approchée de A à moins de y par défaut , et
est la valeur approchée do A à moins de y par excès.
MESURE DES GRANDEURS
Cela posé, lo nombre qui mesure une grandeur A incommensurable avec l’unilé est par définition la limite vers laquelle tendent les valeurs
, approchées do A à moins de-? lorsque n croît indéfiniment.
Pour justifier cette définition, il faut montrer que cette limite existe et qu’elle est unique, c’est-à-dire indépendante do la loi suivant laquelle on fait croître n indéfiniment.
A cet effet, nous désignerons par an la valeur approchée de A par
défaut et par a'n la valeur approchée par excès à moins de - •
an n’augmente pas toujours avec n ( 1 ) ; désignons par yn et appelons
valeur principale de A a moins de - par défaut la plus grande des valeurs
de <7y pour toutes les valeurs de v non supérieures à n. Alors, lorsque n croîtra, la valeur principale atl croîtra aussi ou du moins no décroîtra jamais, et comme an, mesurant une grandeur moindre que A, reste inférieur à l’une quelconque des valeurs a'n approchées par excès, yn aura une certaine limite a quand n croîtra indéfiniment.
De môme a'n ne décroît pas toujours quand n augmente; désignons
par y!a et appelons valeur principale de A à moins de - par excès la
plus petite des valeurs de pour toutes les valeurs de v non supérieures à n. Alors, lorsque n croîtra, la valeur principale a'n décroîtra ou du moins ne croîtra jamais; et comme aj>, mesurant une grandeur supérieure à A, reste supérieur à l’une quelconque des valeurs an approchées par défaut, y'n tend vers une certaine limite quand n croît indéfiniment.
Or, on voit de suite que cette limite n’est autre que a et que les valeurs approchées a'n tendent aussi vers a lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque. En effet, a.n et a'n étant, d’après leur définition môme, compris l’un et l’autre entre un et a'n , la différence entre yn et chacune des quantités a'n, an , a'n est moindre en valeur absolue que
a'n — an, et par suite moindre que la fraction qui tend vers zéro
quand n augmente indéfiniment.
* Calcul des nombres incommensurables .
5. Un nombre est dit commensurable ou incommensurable suivant que
(*) Par exemple, si A est la diagonale du carré dont le côte est égal a l'unité,
on a a .
IÙ
et — -, et par conséquent au < a
la grandeur dont il exprime la mesure est commensurable ou incommensurable avec l’unité adoptée. Les nombres commensurables sont les entiers et les fractions.
Par définition, le résultat d’une opération sur des nombres incommensurables est la limite du résultat de la. même opération sur leurs valeurs
approchées à moins de — ? lorsque n croit indéfiniment.
Il faut démontrer que cette limite existe et est unique, c’est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle n croît indéfiniment : c’est ce que nous allons faire en considérant successivement chacune des opérations élémentaires.
Pour employer des notations uniformes, nous désignerons tout nombre incommensurable par une lettre minuscule, a par exemple; alors an et a'n
seront ses valeurs approchées par défaut et par excès à moins de
un et a!n ses valeurs principales à moins de ~ j enfin, nous emploierons
le symbole An pour désigner indifféremment l’une quelconque des valeurs an et a'n , sans spécifier l’une d’elles.
Addition. — Soient les deux nombres incommensurables a et b. Lorsque n augmente, la somme aÆ-t- (3/lr croît ou du moins ne diminue pas, et, comme elle reste inférieure à l’une quelconque des valeurs de a'n, -f- (3'i5 on voit qu’elle a une limite. D’ailleurs, a la même
limite, car la différence entre les quantités
a« -+* fin ôt A/l -h B/l
est moindre en valeur absolue que la somme des différences an~ an,
b’n — bn, c’est-à-dire moindre que la quantité - qui tend vers zéro quand
n augmente indéfiniment suivant une loi quelconque.
C’est cette limite qu’on appelle a -+- b.
Soustraction. — On dit que a est plus grand que b si pour toute valeur de « on a anf> b'n. Cela posé, la différence a.n — croît avec n en restant moindre que l’une quelconque des valeurs de a.'n — (3„; elle a donc une limite. D’ailleurs, An— B/i a la même limite, car la différence entre les quantités
ccn ^/i et A/i Bu
est moindre en valeur absolue que la somme des différences a'n — an, b'n — bn% c’est-à-dire moindre que la quantité ^ ■> qui s’annule pour n ~ oo. C’est cette limite qu’on nomme a — b .
MESURE DES GRANDEURS
Comme on a, quel que soit /?,
a« = P'n ( a* ‘ pu ) j
on aura à la limite
Donc la différence a — b , définie comme nous venons de le faire, est bien le nombre qui , aj >uté à b , reproduit a.
Multiplication. — Le produit croît avec n en restant inférieur à l’une quelconque des valeurs de il a donc une limite. D’ailleurs,
tend vers la même limite, car le quotient
yn pu v-n pu
étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i , a pour limite l’unité. C’est cette limite qu’on appelle ab.
Comme on a, quel que soit /?,
a« P n — P nrj-n\
on a à la limite
ab — ba.
La valeur du produit ab , tel que nous venons de le définir, est donc indépendante de l'ordre des facteurs.
Le produit de plusieurs facteurs incommensurables, dans le cas où le nombre des facteurs est supérieur à deux, se définit comme dans le cas où les facteurs sont commensurables.
Division. — Le quotient ^ croît avec n en restant inférieur à l’une
quelconque des valeurs du quotient il a donc une limite. D’ailleurs,
pu
— ^ tend vers la même limite, car l’expression
vri
A n . ara A n P ri
étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i, a pour limite l’unité. C’est cette limite que l’on représente par ^ •
Comme on a, quel que soit n ,
on a à la limito
bv
Le dividende est donc bien égal nu produit du diviseur par le quotient tel que nous venons de le définir.
Rapport de deux grandeurs.
G. On nomme rapport d’une grandeur A à une grandeur B de môme espèce le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour avoir la
première. On désigne ce rapport par :y
Le rapport de deux grandeurs A et B de même espèce est égal au nombre qui mesure la première lorsqu'on prend la seconde pour unité'.
En effet, si le rapport donné est, par exemple, y la première grandeur
est le produit de la seconde par - (15); mais multiplier une grandeur
par -j c’est en prendre les -• La première grandeur est donc les - do
la seconde, et, par suite, - est le nombre qui mesure la première grandeur lorsqu’on prend la seconde pour unité.
* Si le rapport de A à B, c’est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier B pour avoir A, est incommensurable, désignons-le par r, et appelons ni le nombre qui mesure A, B étant pris pour unité. Soient
d’ailleurs - et - - - deux valeurs approchées à moins de -> l’une par
nu 1 n r
défaut, l’autre par excès, du rapport r. On aura alors
Le nombre m qui mesure A sera donc compris entre les nombres -
et qui mesurent les deux grandeurs B - > B^-^, B étant l’unité. Donc u n ° nn
les nombres m et r, étant compris l’un et l’autre entre deux nombres -
et ~ -+- y qui diffèrent aussi peu qu’on veut pour n assez grand, ne sauraient avoir une différence assignable.
7. 11 résulte do là que, lorsque deux grandeurs A et B ont été me -
MESURE DES GRANDEURS
surees avec une même unité C, on obtient leur rapport en divisant le nombre a qui mesure la première par le nombre 6 qui mesure la seconde.
En effet, on a, d’après le théorème précédent, les deux relations À = C.a, B = C.e, d’où A=B
Le quotient 4 exprime donc le rapport de A à B.
On est ainsi conduit à appeler rapport de deux nombres quelconques a et § le quotient de leur division, et l’on démontre en Arithmétique que les règles de calcul des fractions à termes entiers sont applicables à ces
rapports ou fractions générales Par exemple, on n’altère pas ces rap-
ports en multipliant leurs deux termes par un même nombre : on obtient leur produit en les multipliant terme à terme, etc.
Conditions pour que deux grandeurs varient proportionnellement .
8. Lorsque deux grandeurs de nature différente ont une dépendance telle que le rapport de deux valeurs quelconques de la première soit égal au rapport des valeurs correspondantes de la seconde, on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles .
Deux grandeurs sont proportionnelles Vu ne à Vautre si, à deux valeurs quelconques, mais égales, de la première grandeur, répondent deux valeurs égales de la seconde, et si, de plus, à la somme de deux valeurs quelconques de la première répond une valeur qui soit la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.
En effet, soient a et a' deux valeurs quelconques de la première grandeur, et b et b' les deux valeurs correspondantes de la seconde. Suppo-
sons que le rapport — soit, par exemple, -> c’est-à-dire que a soit
Cl O
les y de a' . En désignant par a le cinquième de a' , on aura alors
a — 3 y. et a' = 5 a.
Mais, si l’on appelle 6 la valeur de la seconde grandeur qui répond à la valeur a de la première, aux valeurs
a + «OU 2x, 2 a -+- c/. ou 3 y , 3 y. H- a ou 4 a, 4 a a OU 5 a
de la première grandeur répondent respectivement, en vertu de la loi de correspondance admise, les valeurs
