f ê ou 26, 26-t-êou3Ç, 3oH-êou4^5 4® -l- ^ ou

de la seconde grandeur. Or, par hypothèse, les valeurs de la seconde R. et dk C. — Tr. de Gcorn. ( Ire Partie). 2 ~j

grandeur qui répondent aux valeurs 3a ou a et 5a ou a' do la première sont b et b' ; on aura donc

d’où

Si le rapport — . est incommensurable, soient - et - -1 deux valeurs

approchées de ce rapport à ^ près, l’une par défaut, l’autre par excès. On aura

d’où, en désignant par a la /^'m partie de

/c a < « < (X- -h i) a et a! — nx.

Mais, si 6 est la valeur de B qui correspond à la valeur a de A, aux valeurs Æa, (A -h i) a, nx de A correspondront respectivement les valeurs kG, (k -h i)S, nê de B. On aura donc, puisque, d’après l’énoncé, à une plus grande valeur de A correspond nécessairement une plus grande valeur de B,

kS < b < [k -4- i)6

c’est-à-dire

- b < b < - b ou

et V — «G,

Par suite, les deux rapports y,

étant compris entre deux nombres -

et - -+- - qui, pour n assez grand, diffèrent aussi peu qu’on veut, ne sauraient avoir aucune différence assignable.

Réciproquement, si deux grandeurs sont proportionnelles : i° la relation

montre que pour a = a' on a b — b\ c’est-à-dire qu’A des valeurs égalés de la première grandeur correspondent des valeurs égales de la seconde ; a0 la môme relation donne

MESURE DES GRANDEURS

4iq

•/est-à-dire qu’A la nomme de deux valeurs quelconques de la première nrandcur correspond la somme des deux valeurs correspondantes de la econde.

Ainsi, correspondance dans l’égalité' et correspondance dans la somme, '.elles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportionnalité de deux grandeurs. Si l’une des deux conditions est seule remplie, 7 n’y a pas proportionnalité ; c’est ce qui arrive pour un arc et sa corde : k des arcs égaux d’un même cercle correspondent des cordes égales; mais la corde BG de la somme de deux arcs est moindre que la somme AB h- AG des cordes de ces arcs.

9. On dit qu’une grandeur M est à la fois proportionnelle à plusieurs autres grandeurs A, B, C, lorsque, ces dernières grandeurs, sauf une, restant constantes, la grandeur M est proportionnelle à celle qui varie.

Lorsqu’une grandeur M est. proportionnelle à plusieurs qutres grandeurs A, B, G, le rapport de deux valeurs quelconques de la grandeur M est égal au produit des rapports des valeurs correspondantes des autres grandeurs .

Ainsi, soient

deux séries de valeurs correspondantes des grandeurs M, A, B, C, obtenues en rapportant chaque grandeur à une unité de son espèce. On aura

m abc

En effet, soient «q la valeur do M qui correspond aux valeurs a', b, c de A, B, C, et m2 celle qui répond à a\ b\ c\ on aura, d’après la définition ci-dessus,

f7i\ a m 2 b ni c

En multipliant ces trois égalités membre à membre et simplifiant, on trouve

abc