SUR L’IMPOSSIBILITÉ DE LA QUADRATURE DU CERCLE
NOTE II
sur l’impossibilité de la quadrature du cercle.
Il n’est guère de problème qui ait donné lieu à plus de tentatives que celui de la quadrature du cercle : on entend par là, comme on sait, la construction avec la règle et le compas, c’est-à-dire à l’aide d’un nombre limité de droites et de cercles, du carré équivalent à un cercle donné quelconque. L’insuccès de tant d’efforts avait fait regarder ce problème comme impossible, bien qu’il n’existât, à vrai dire, aucune démonstration rigoureuse de cette impossibilité; on avait seulement prouvé jusqu’ici que le rapport de la circonférence au diamètre est incommensurable (Lambert, 1761), et qu’il en est de même de son carré (Legendre, Note IV de sa Géométrie ; Hermite, Journal de C relie, 1873).
Dans tout problème susceptible d’être résolu avec la règle et le compas, chaque point de la figure s’obtient par l’intersection de deux droites ou d’une droite et d’un cercle, ou de deux cercles; si l’on imagine qu’on traduise algébriquement les constructions au fur et à mesure, à l’aide des formules de la Géométrie analytique, on aperçoit qu’on n’aura jamais à résoudre que des équations linéaires ou quadratiques, en sorte que l’équation finale pourra, par un nombre suffisant d’élévations au carré successives, être ramenée à une équation de degré pair à coefficients rationnels. On aura donc démontré l’impossibilité de la quadrature du cercle, si l’on prouve que le nombre n ne .saurait être racine d’une équation de degré quelconque à coefficients rationnels.
M. Lindemann a annoncé ( Comptes rendus, t. XCV, et Mathematische Annalen, t. XX; 1882) qu’il était parvenu à déduire cette proposition de certaines formules de M. Ilermite ( Mémoire sur la fonction exponentielle, 1874); sa méthode n’est qu’une généralisation, mais fort habile, de celle qu’avait employée l’illustre géomètre pour démontrer que le nombre e , base des logarithmes népériens, jouit de la propriété similaire.
Nous allons exposer, en simplifiant quelques détails, les formules de M. Hermite et les recherches de M. Lindemann; ce dernier travail, si remarquable, appelle d’autant plus l’attention qu’il ne semble pas devoir être le dernier mot sur ce sujet, au moins sous le rapport de la simplicité.
Formules de M. Hermite.
1. Remarquons d’abord que, si l’on désigne par m un nombre entier et positif quelconque, par zt, z2, ..., zn les racines d’une équation en-
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tière de la forme
(a) f[z) = zn-\- a{zn~l -4- ... -4- fin — o,
on peut toujours déterminer un polynôme entier et de degré n en z (l) $(z, 2/) = Z» H- 0! ... -4- 0„(Z/),
tel qu’on ait identiquement
Z Zq Z — Z/i
i désignant l’un quelconque des nombres o, î , 2. à condition de
remplacer z0 par zéro.
Car, en égalant les coefficients des mômes puissances de z dans les deux membres, on trouve, puisque le premier terme est zn de part et d’autre, n relations qui permettent de déterminer les n coefficients
Ql(zi)i • • * j {zi ) >
) Z — Zi
ni
ces relations, qu’on déduit de
zf a zf~ 1 -1- . . . -4- (*k
— ^k[zi) — [n *+• Æ — i) ÔAr— 1 [zi)
— ni [ So 0/fc— 1 ( zi ) *+■ Si 04—2 ( Zi ) -4- ... -I- S/L— 2 0 l{zi) -4- S*! ] ,
en faisant successivement h égal à 1, 2, . . . , n et où S0, Si, . . . désignent les sommes des puissances semblables des racines de/(z) = o, montrent que Qk{zi) est un polynôme de la forme
0/i(z< ) — zh ■+• b\zf~l -h ... -h Ô4,
étant des fonctions entières symétriques et à coefficients entiers des racines de/(z) = o.
L’expression (1) fait voir en outre que, si l’on pose
on a
$(*<>, zo)
... 0i ( zn )
$(*<>» zl)
. . . $(z„, Zi ) j
Mz 0)
... Ou (z/j)
*(Zo, zn)
... (z„, Zn ) j
sur l’impossibilité de la quadrature du cercle.
et comme, en vertu de l’expression de ô*(z/), le second déterminant se réduit par des transformations bien connues à on voit que le dernier déterminant est égal à â2.
Enfin, si l’on désigne par <p(z, z/) ce que devient $(z, z,-) lorsqu’on y remplace ni par zéro, on a
et
= zi)
? ( zOi zo ) • • • Ÿ (z«5 zo ) ¥ (z0i zl) • • • ? [zn 5 )
