TT 0 U

Mais, en multipliant par e~z les deux membres de la relation (2'), on a

iZiîl -

NOTE II

d’où, en multipliant par dz et intégrant entre o et

(1 )lk = ?(zo, zt) — ezk cp (zA., z/).

Il suffit dès lors de poser

(5) 4 = U/* ? (2/1, Zo) ÜÂ ? (2/0 5/i),

pour obtenir la formule

(6) mLkz= (,[ - c-zknlk,

due à M. Ilermite et dont dépend toute la suite de cette étude.

Les quantités ulh sont des fonctions entières et à coefficients entiers des racines de/(z) = o; leur expression (5) montre en outre que leur déterminant

est égal au produit des déterminants (3) et (4); d’où résulte l’égalité

A = §'lm.

3. Enfin, pour terminer ce travail préparatoire, nous allons montrer que Y intégrale mlk tend vers zéro lorsque ni croit indéfiniment.

Si l’on désigne, en effet, par X' la longueur du chemin d’intégration adopté pour le calcul de mk, et par f et V les modules maximum de zf{z) et de e~z(z — z, )-1 le long de ce chemin, on a évidemment

mod m

Par suite, si X, p., v sont les plus grandes valeurs de X', p/, v' pour toutes les valeurs de X- et de i, toutes les intégrales mlk auront un module inférieur à

ulv

or X, p, v sont des nombres finis et indépendants de m, et l’on sait d’ailleurs que la fraction mise entre parenthèses peut, pour une valeur assez grande de l’entier ni, devenir inférieure à toute quantité donnée.

Théorèmes de M. Lindemann.

4. Supposons : i° que n soit de la forme pq , p et q étant deux entiers positifs quelconques; 20 que zt, . . ., zp soient les racines d’une équation

sur l’impossibilité de la quadrature DU CERCLE. 4 2 5

irréductible de la forme

(P) 4* ( ® ) ~ “t" b i zP~ * -+- . . . -+- bp — o,

bu /;2. . bp étant des nombres entiers réels ou imaginaires; 3° que l’on ait pour toutes les valeurs i, 2, .../>» de l’indice v

(7 ) zp+'> — z2 p-t-v — 3zv, . . . , Z;q—\)p. = y3,,*

On aura, par la formule (6),

cV"v’ = wJ — «J, ezp+-> ni lp+i = gzp+'‘ ul0 — «;;+v,

ezif-i)F+y»i(ç l)p^ — ez:7-i)F+^iiQ — u[q i)p+.n

d’où, en multipliant respectivement par des nombres N1} N2, ..., NŸ, supposés entiers réels ou imaginaires, mais différents de zéro, puis ajoutant et ayant égard aux relations (7),

N J 2 ez~, m\ -f- N2 2 czv+-> mj^

= 4( Ni 2c — Ni

Dp+v,

toutes les sommes 2 étant prises de v — 1 à v = (v. L’existence d’une relation telle que

(I) N0 -i- Ni 2 cz-> -+- N 2 2 -4- N 7 2 ei7-' ~ o

entraînerait donc les n -h i relations que l’on déduit de

N 1 2 c~v ml + N22 czp+'> m

Ny2 6-f <i-^p+'> m\q r)p^

= -[N0«o + Ni2 ni -h No 2 -+-

\T V iV<7

tt(î-l)/H-v],

en y faisant i — o, 1, 2, . n. L’impossibilité de la relation (I) sera donc démontrée, si l’on prouve l’impossibilité du système des (//-+-i) équations (8).

A cet effet, nous ferons d’abord les remarques suivantes, qui résultent de la composition des et de la forme entière des coefficients de l’équation qui a les Zk pour racines.

i° Le second membre de la première des équations (8) (relative à / = o) est un nombre entier; car ce second membre, qui est une fonction entière et à coefficients entiers de z/C: est en outre une fonction symétrique de ces racines, vu que, si l’on échange les indices x et /qu’on suppose choisis parmi 1,2, ...,/?, «£ s’échange avec zx+\p avec zy+iP, et !/.i 4-X/) avec iiy^p ,

20 Les seconds membres des autres équations (8) ne font que s’échanger

NOTE II

entre eux par l’effet de l’échange mutuel des z/c\ car, si l’on échange zx et zy , uf+ip s’échange avec uf^lp tant que l diffère de x et de j, el eu outre Uy+ip s’échange avec uf+lp et avec Ces seconds

membres sont d’ailleurs des fonctions entières et à coefficients entiers des Z[ ; si donc on considère l’équation

qui aurait les seconds membres des équations (8) pour racines, les coefficients Aj, ..., A„ étant des fonctions entières et symétriques de ces seconds membres seront des nombres entiers.

Mais les premiers membres des équations (8) tendent vers zéro quand m croît indéfiniment; donc il en est de même alors de Ai, A2, . . An, et comme ce sont des nombres entiers, il faut que, à partir de certaines valeurs de m et pour toutes les valeurs plus grandes de m, on ait rigoureusement Ai = o, A2= o, . . ., A„= o. Donc, pour ces mêmes valeurs de /??, les seconds membres des équations (8) devraient s’évanouir, et, par suite, tous les déterminants d’ordre [q - h 1) déduits du tableau des coefficients N0, Ni, . . ., dans les seconds membres des équations (8) devraient être nuis; il en serait donc de même du déterminant A, et par conséquent aussi de J1, puisque A = â‘im.

Mais le déterminant iï est, comme on sait, égal au produit de toutes les différences ± (az/ — (3 z^), lorsqu’on donne à / et h toutes les valeurs 1, 2, et à a et S toutes les valeurs o, 1,2, . . ., q (à condition

cependant de ne pas faire à la fois a et (3 nuis); § ne pourrait donc être nul que s’il y avait entre deux racines z-t et z/t une relation de la forme a Zi — fiz/t = o; mais alors l’équation ^(z) = o et l’équation

b 2 zn~-

fil

auraient une racine commune, tandis que ^>(z ) a été supposé irréductible. On a donc le théorème suivant :

Si Zi, z2, ...,zp sont les racines d’une équation irréductible de la forme ((3) à coefficients entiers bi , . . bn réels ou imaginaires, il ne peut exister, entre les fonctions symétriques

= ezi

H- ezî -h .

. . -4- ez)> ,

2<?2Zv

= e2zi

H- eizi H- .

- • ■+■ c'2zPi

le' 7-v

-I- e(lz -2 -h .

où q de'signe un nombre entier et positif quelconque, aucune relation telle que (I), c’est-à-dire aucune relation linéaire dont les coefficients N0, Ni, . . . , N7 soient entiers réels ou imaginaires et différents de zéro.

sur l’impossihilité de la quadrature du cercle. 427

En particulier, on ne saurait avoir

N0-b N[ -4- (erz i-h crzt-\- . . , -f- erz„ ) o,

r étant un entier positif quelconque; et par conséquent, sous les conditions admises , aucune des fonctions symétriques

cr ~ . — f- e 1 — (- • , . — t— e^-n ne saurait être égale à un nombre rationnel

5. Les propositions précédentes peuvent s’étendre aux fonctions symétriques

( 1ez f, lezyzî, 'lezdrZî+"’-,rZ1>

( 2<?'’(z1-+-z2)i ^er(Zi+z.2+z3)^ . >t> 5<?r(z14-z2+-..+z/;)>

En effet, supposons d’abord que les nombres qui figurent comme exposants de e soient tous différents les uns des autres et différents de zéro. L’existence d’une relation linéaire à coefficients entiers N0, Nl5 N2, ... entre les quantités (10) conduirait alors à un système d’équations entièrement analogue au système (8) et dont on mettrait l’impossibilité en évidence par un raisonnement pareil à celui du n° 4.

Si l’hypothèse ci-dessus n’est pas remplie, admettons d’abord que dans l’une des fonctions (10) que nous désignons par 2ez, plusieurs des exposants Z soient égaux entre eux, et considérons une relation de la forme

(II) o = No H- N i2cz.

Toutes les quantités Z peuvent alors être réparties en plusieurs groupes

Zi? Zt, Zn ...; Z2, Z2, Z2, ...; ...,

tels que les quantités qui forment un même groupe soient racines d’une équation irréductible à coefficients rationnels et 11c fassent que s’échanger entre elles quand on échange les racines z Or le succès du raisonnement appliqué dans le n° 4 à la relation (I ) était dû précisément à ce qu’il 11’intervenait dans chaque somme séparée que des exposants de e s’échangeant entre eux par suite de l’échange des z*. Nous pouvons donc ici conclure immédiatement à l’impossibilité d’une équation de la forme

o = N0 -f- Ni 2 ezi -+- N 2 2 ezi

et par suite de la relation (II) qui en est un cas particulier. Si, de plus, une des quantités Z était nulle, cela équivaudrait à un changement dans la valeur de N0; mais alors le raisonnement serait en défaut, à moins que tous les exposants du second membre de (II) ne s’évanouissent en même temps. Si l’équation qui a les zjc pour racines est irréductible, le cas