SUR LA GÉOMÉTRIE RÉCENTE DU TRIANGLE

Définition des coordonnées.

1. Soit ABC ( frg. i) le triangle fondamental, primitif on de référence.

On fixe la position d’un point M ou d’une droite m par rapport au triangle ABC au moyen de certaines quantités qu’on appelle les coordonnées de ce point ou de cette droite.

Menons les perpendiculaires MX, MY, MZ sur BC, CA, AB, et désignons par x, j, 5, les nombres qui mesurent les longueurs MX, MY, MZ, précédées du signe -+- ou du signe — , suivant que le point M est, par rapport à la droite sur laquelle on a abaissé la perpendiculaire, du même côté que le sommet opposé du triangle ABC ou d’un côté différent.

Les quantités x , y , s sont les coordonnées normales de M. Les côtés de ABC indéfiniment prolongés partagent le plan en sept régions, que nous avons numérotées o, 1, 2, 3, 1', 3' ; les signes des coordonnées

d’un point appartenant à l’une de ces régions sont respectivement

(‘ ) Dans cette Note, les renvois se rapportent an texte du Traite et à celui de la Note elle-même; pour éviter toute ambiguïté, nous ferons précéder ceux qui visent les numéros de cette dernière de la lettre N.

NOTE nr .

Appelons a , b, c , S les côtés et l’aire de ABC. Si le point INI est situé dans l’intérieur du triangle, S est la somme dos aires des triangles MBC, MCA, MAB ; d’où

ax -y b y H- cz — 2 S.

Cette équation subsiste dans toutes les positions de M.

Le point M est déjà déterminé, quand on donne, soit deux des

coordonnées x, y, s; soit trois quantités, /, m, n proportionnelles

axj, z; car, si 1 011 connaît les rapports - = — > - = on peut con-

struire (217) les droites AM, BM. Les quantités l, m, n , prennent également le nom de coordonnées normales de M ; x: y , z sont alors les coordonnées normales absolues.

2. Soient a, [3, y trois nombres proportionnels aux aires des triangles MBC, MCA, MAB, ces aires étant considérées comme positives ou négatives, suivant que le triangle correspondant et le triangle fondamental sont situés du même côté de leur base commune ou de part et d’autre. Désignons par Mi, M2, M3 les points de rencontre dos droites AM, BM,

CM avec BC, CA, AB. Les triangles ABM, ACM ont même base AM, et les distances de B et C à cette droite sont proportionnelles aux segments BMt et CMi. Par conséquent,

Mi B y MoC a M;i A p.

Mi C — (T M2A“ y’ M 3 B a ’

d’où un moyen de déterminer M, quand on connaît a, [3, y.

Les quantités a, (3, y ont reçu le nom de coordonnées barycentriques ( 1 ) de M. Le lecteur familiarisé avec les premières notions de Mécanique voit facilement que M est le centre de gravité de trois masses proportionnelles à a, [3, y et placées respectivement en A, B, C.

Les relations suivantes sont souvent utiles :

MMi a MM2 P MM3 y .

AMi q [3 -+- y BM2 q h— j3 — t— y CM 3 oc — t— j3 h— y

fL = .L==X.

Les dernières formules permettent de passer des coordonnées barycentriques aux coordonnées normales et vice versa. I

3. Des sommets du triangle do référence, abaissons les perpendicu-

(’) MM. J. Neuberg et G. de Longchamps ont fait un heureux usage de ces coordonnées dans la nouvelle Géométrie du triangle.

GÉOMÉTRIE D'J TRIANGLE

laires AL, BAI, CN (fîg. 2), sur une droite quelconque m du plan, et désignons par X, ;jl, v, des nombres proportionnels aux mesures de ces perpendiculaires et précédés du signe + ou du signe — d’après la convention suivante : les perpendiculaires abaissées de deux points sur une môme droite sont de meme signe ou de signes contraires, suivant que ces points sont du même côté de la droite ou de part et d’autre.

Fis-. 2.

Si m1} m2, m3 sont les points d’intersection de m avec BC, GA, AB, on a

nii G v 7 m2 A X’ //î3B p

Les quantités X, p, v déterminent donc complètement la droite m\ ce sont les coordonnées de cette ligne. Les distances AL, BM, CN, sont les coordonnées absolues de ni.