POINTS COMPLÉMENTAIRES
4. Soient A', B', G' {fig. 3), les milieux des côtés du triangle fondamental ABC. Les triangles ABC, A'B'C7, sont homothétiques (361); le rapport de similitude est égal à 2, et le centre d’homothétie est le point de concours G des médianes AA', BB', CG7. Si M, M7, sont deux points homologues de ces triangles, les droites MA et M'A7, MB et M'B7, MC et M'C7 sont parallèles et dans le rapport 2 : 1 ; G divise la droite MM7 dans le même rapport.
M7 est appelé le point complémentaire de M; M, le point anticomplémentaire de M7; A'B'C7, le triangle complémentaire de ABC.
L’anticomplémentaire M7/ de M se construit en prolongeant MG de GM77 = 2 MG. Il est facile de voir que M7 est le milieu du segment MM77 et que les points G, M7/ divisent harmoniquement le segment MM7. Les
(’) L’idée de ces points est due à M. E. Hain ( Archives de Grunert, i885) : elle a été généralisée par M. de Longehamps ( Journal de Mathématiques élémentaires , 1886).
i\OTE III.
parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés forment un triangle A"B"G", anticomplémentaire de ABC.
Appelons a, [3, y, les coordonnées barvcentriques deM dans le triangle ABC; ce sont aussi celles de M' dans le triangle A'B'C'. Soient F, J, les points de rencontre de AM' avec BC, B'C', et soit F' celui de A'M' avec B'C'; on a (N., 2)
d’où
AF
2 JF 2 F' A' 2 (a + S + y)
Donc, si a'. [3', y', désignent les coordonnées de M' dans le triangle ABC,
cl inversement
Ainsi, les coordonnées barycentriques du complémentaire et del’anticomplémentaire d’un point ayant pour coordonnées a, (3, y, sont
5. Nous désignons par O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; par AIC, BII2, CI13, les hauteurs ; par II le point de concours de
ces droites. II est l 'orthocentre de ABC; le triangle HiH2H3 est le triangle orthique de ABC.
O est le complémentaire de II; par conséquent. G divise la droite HO
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
dans le rapport 2:1, et l’on a AH = 2 O A', BH = 2 O B', CH = 2 OC'. Le complémentaire de O est le centre Og du cercle des neuf points de ABC (404). La droite HO est la droite d’Euler de ABC (Jîg- 5).
Les centres des cercles tangents aux trois côtés de ABC sont désignés par I, la-, h, le* Le complémentaire et l’anticomplémentaire de I sont, respectivement, le centre du cercle inscrit au triangle A'B'C', et le centre du cercle inscrit à A"B"C".
