DROITE ET POINTS HARMONIQUEMENT ASSOCIÉS A UN POINT DONNÉ

0. Soit M un point quelconque du plan ABC {fig. 4)» Les droites AM, BM, CM rencontrent BG, CA, AB aux points Mt, Ms, M3; désignons par

Fig. 4.

mh ma, mz les conjugués harmoniques de ces points par rapport aux extrémités des côtés correspondants du triangle ABC. On a les égalités (311 et 331)

M, B M,C M:{ A mTc mH m3b ~ “ r’

Mi B WiB M2C m2Cj M3A m3 A

MiC = “ mdî’ ÂÜÂ ~ ~ ml A’ MTS = ~ m, B ;

(') Emile Lemoine, Association française pour l'avancement des Sciences , Cjngrès de Blois (1884 ).

R. et de C. — Tr. de Qcom. ( P® Partie).

d’où l’on déduit

NOTE III

777 iC 7722 A 272 3 B

^7c mTâ mmï “

Ml B 772 2 C 7723 A

MiC 772 2 A 7723 B

Par conséquent (310, 326) : i° Les points 2721 ; 777 2 , 7723 sont situés sur une meme droite 772, axe d'homologie du triangle fondamental ABC et du triangle MiM2M3 ( triangle pédal de M);

20 Les droites A/n 1, B 7729, C m$ forment un triangle M«M/,MC, dont les sommets sont situés sur les droites AM, BM, CM. (Comparer avec le nn 315.)

La droite m est dite harmoniquement associée au point M; on l’appelle également polaire trilinéaire de M. M est le point harmoniquement associé à la droite m ou le pôle trilinéaire de m. Les points Ma, M/,, Mc,

Kig. 5.

sont harmoniquement associés à M; ce sont les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments AMi, BM2, CM3. Enfin, les polaires tri-

GÉ03IÉTRIE DU TRIANGLE

linéaires des points Ma, INI^, Mc, ou les droites M2 M3, Mim2M3, MiM 2W3» sont harmoniquement associées à la droite raim2m3.

Si est le point donné, les associés sont M, Mc, M^.

Pour construire le pôle trilinéaire M d’une droite m, qui coupe les côtés du triangle fondamental en m-i, m2, m3, on trace les droites A mu B/h2, C/h3, qui forment un triangle les droites AMa,BM6, GMC

concourent au point cherché M.

Les coordonnées d’une droite sont inversement proportionnelles aux coordonnées barycentriques de son pôle trilinéaire. Si a, (3, y sont les coordonnées barycentriques ou normales d’un point, celles des points associés sont

ScOLIE.

7 i° Les associés du centre de gravité G sont les sommets du tri—

Fig. 6.

angle anticomplémentaire À" B" G" (Jig. 3); la polaire trilinéaire de G est la droite de l’infini.

20 La polaire trilinéaire h[h-1h^ de l’orthocentre II est l’axe d’homologie du triangle fondamental ABC et du triangle orlhique HiH2H3 (f/g. 5); on l’appelle axe orthique de ABC.

L’axe orthique d’un triangle est l’axe radical du cercle circonscrit et du cercle des neuf points ; il est perpendiculaire à la droite d’Euler.

En effet, les quadrilatères inscriptibles A'HiH2H3, B C II2 H 3 donnent

7/1H1.//1A'= /iiHa.//iH3, // 1 B . // x C = //! II2. //, II3,

d’où /q 1 1 1 . // 1 A' = // 1 B. // ! C ; par suite, // 1 appartient à l’axe radical des cercles O, 09.

3° Les associés du centre I du cercle inscrit à ABC sont les centres 4, I/>, tc des cercles exinscrits; la polaire trilinéaire de I joint les pieds ii, 4, 4 des bissectrices extérieures (fig. 6).

La droite i\ 4 4 est perpendiculaire à 10. En effet, ABC est le triangle orthique, et le cercle circonscrit 0 est le cercle des neuf points du triangle 444; donc 10 est la droite d’Euler du dernier triangle.

Soient C, I2, I3 les pieds des bissectrices intérieures de ABC. ABC étant le triangle orthique de chacun des triangles 144, 4 14, 4>4I, on démontre facilement que les droites 44, 44, 4 I2 sont respectivement perpendiculaires aux droites 04, 04;, 04-