POINTS INVERSES

9. Lorsque deux angles de même sommet ont même bissectrice, nous dirons que les deux côtés de l’un des angles sont des droites isogonales par rapporta l’autre angle. Visogonale d’une droite menée par un sommet du triangle de référence est la symétrique de cette droite par rapport à la bissectrice de l’angle correspondant du triangle.

LEMME

Soient P, Q deux points quelconques pris sur deux droites isogonales par rapport à l’angle BAC (fi g- 9).

(') E. Vigarié, Journal de Mathématiques élémentaires , 1 885 .

NOTE III

i° Les distances de P aux côtés de l’angle BAC sont inversement proportionnelles à celles de Q aux mêmes côtés ;

2° Les projections des points P, Q sur les deux côtés de l’angle BAG sont quatre points cl’une même circonférence ;

3° La droite qui joint les projections de l’un des points P, Q sur les côtés clc l’angle BAC est perpendiculaire a celle qui unit l’autre point au sommet de l’angle.

Fig- 9-

i° Soient Pl5 Q! les projections des points P, Q sur AB, et soient P2, Q2 leurs projections sur AC. Si l’on retourne le quadrilatère AQ2QQ1 autour de la bissectrice de l’angle BAC, il devient homothétique au quadrilatère ÀPjPP2. Il en résulte que

20 Les droites PiP2, Q1Q2 sont antiparallèles par rapport à l’angle BAC ; car leurs directions sont symétriques par rapporta la bissectrice de cet angle. Le quadrilatère PiP2QiQ2est donc inscriptible; le centre de la circonférence circonscrite est au milieu de la droite PQ, à la rencontre des perpendiculaires élevées aux milieux des cordes P1Q1,

3° Le quadrilatère APjPlL étant inscriptible, on a angulairement

donc les droites AQ, PjP2 sont rectangulaires.

GÉOMÉTRIE OU TRIANGLE

THÉORÈME

10. Soit M un point quelconque du plan du triangle ABC (./%’ • io) :

i° Les isogonales des droites AM, BM, CM concourent en un meme

point M/;

i° Les projections des points M, M; sur les côtés du triangle ABC sont six points d’une même circon férence ;

3° Les côtés du triangle podairc ( 1 ) de Lun des points M, M/ sont , respectivement, perpendiculaires aux droites joignant l’autre point à A, B, C ;

4° Les coordonnées normales de M/ sont inversement proportionnelles à celles de M.

i° et 2°. La première partie du théorème résulte du n° 313. On peut également l’établir, en même temps que la seconde partie, en s’appuyant sur le lemme qui précède.

En effet, soit M* le point où se coupent les isogonales des droites AM, BM, et soient X, Y, Z, X /, Y?, Z / les projections des points M, M/ sur les côtés du triangle ABC. La circonférence décrite du milieu de la droite MM/ comme centre et passant par Z et Z/ contient les points Y, Y/, X, X/ (N., 9, 2°). Comme elle est complètement déterminée par les trois points X, Y, Z, le point M/ est aussi situé sur l’isogonale de CM.

3° et 4°. Ces propriétés résultent immédiatement de (N., 9, i° et 3").

SCOLIE

11. Les points M, M, sont dits inverses ou conjugués isogonaux par rapport cai triangle ABC.

Les centres I. la, !/,. \c des cercles tangents aux trois côtés de ABC sont, chacun leurs propres inverses.

L’orthocentre II et le centre O du cercle circonscrit {fi g- 5) sont des points inverses ; car, la tangente en A à ce cercle et le côté BC étant antiparallèles par rapport à l’angle BAC, la hauteur AI1 et le rayon AO sont des lignes isogonales. Il suit de là que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs de ABC sont sur une même circonférence.

L’ inverse cl’un point M de la circonférence circonscrite à un triangle est à l’infini sur la direction perpendiculaire à la droite de Sirnsou (IG9, 1 1°) de ce point. En effet, cette droite est perpendiculaire à l’isogonale do chacune des droites AM, BM, CM.

(*) Nous appelons triangle podairc d’un point M, par rapport à un triangle ABC, le triangle XYZ qui a jîour sommets les projections de M sur les cotés de ABC; inversement, le triangle ABC est appelé le triangle antipodaire de M par rapport au triangle XYZ.

4 |0 NOTE III

TRIANGLES ORTIIOLOGIQUES.

THÉORÈME

12. Si les perpendiculaires menées des sommets d’un triangle ABC sur les côtés correspondants d’un triangle A { B 1 C \ se coupent en un meme point D, les perpendiculaires menées des sommets du triangle Aj l$i C j sur les côtés correspondants de ABC concourent aussi en un meme point Dj.

Il suffit d’établir cette proposition pour un triangle homothétique à AîBiC]. Voici trois figurer où elle s’aperçoit immédiatement.

i° Soient, par rapport au triangle ABC, D, l’inverse de D, et X/Y/Z,le triangle podaire de D,- ( fig . io). Les droites AD, BD, CD sont per¬

pendiculaires aux côtés du triangle XYZ, et les droites D/X^D/Y;, D,Z, sont perpendiculaires aux côtés du triangle ABC.

2° Soient A2,B2,[C2,D2 les centres des cercles circonscrits aux triangles BCD, CDA, DAB, ABC (fig. n). Les côtés du triangle A2B2C2 sont perpendiculaires aux milieux des droites DA, DB, DC, et les droites D2A2, D2B2, D2C2 sont perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle ABC.

>° Construisons le triangle polaire de ABC par rapport à une circonférence décrite de D comme centre avec un rayon quelconque d ( fig. 12). A cet effet, nous déterminons sur les droites DA, DB, DC les points X', Y , Z' satisfaisant aux égalités

DA . DX' = DB . DY' = DC . DZ' = d*

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

et nous menons en X', Y', Z' des perpendiculaires sur DA, DB, DC: ces perpendiculaires sont les côtés du triangle cherche ABC'. Ou bien, nous abaissons de D des perpendiculaires DX, DY, DZ sur BC, CA, AB

Fig.

et nous déterminons sur ces droites les points A', IV, C' par les conditions

(2) DX. DA' = DY . DB' — DZ . DC' = d*.