Les triangles ABC, AJ^Ci sont dits orthologiques

Le théorème (N., 12) est susceptible de l’énoncé suivant qui en fait mieux ressortir le véritable caractère :

Si l’on considère une figure composée d’un triangle ABC et de trois rayons vecteurs AD, BD, CD, on peut toujours construire une seconde figure composée d’un triangle Ai IL Ci dont les côtés sont perpendiculaires aux rayons vecteurs AD, BD, CD, et de trois rayons vecteurs Ai Dl5 13 1 D j , C1D1 perpendiculaires aux côtés du triangle ABC.

Faisons tourner la figure A^CjDi d’un angle quelconque dans son plan ou retournons-la dans son plan; nous aurons le théorème suivant:

NOTE III

Étant donnes dans un meme plan deux quadrangles complets ( 1 ) ABCD, Ai Hj C \ Üi , si cinq côtés du premier font avec les côtés opposés du second le meme angle a, ou si leurs directions sont symétriques, par rapport à un meme axe, des directions des côtés opposés du se¬

cond, il existe la meme relation entre les sixièmes côtés.

Les quadrangles ABCD, A1B1C1D1 considérés ici, sont dits métapolaires. Si on le v place dans un meme plan de manière que deux sommets de même nom, par exemple A et Ai, coïncident et que les côtés opposés soient, perpendiculaires, les triangles formés par les sommets restants, BCD et BiCiDj, deviennent polaires réciproques par rapport à un certain cercle décrit du sommet commun A comme centre.

Les égalités (i) et (2) (N., 12) donnent la propriété suivante : Les distances d’un sommet A du premier quadrangle aux sommets et aux côtés du triangle BCD sont inversement proportionnelles aux distances du sommet Ai de même nom du second quadrangle aux côtés et aux sommets du triangle IC Ci Dj .