MÉTAPÔLES DE DEUX TRIANGLES. — POINTS JUMEAUX

1 i. Nous appelons métapôle d’un triangle ABC par rapport à un

(') Un quadrangle complet est la figure déterminée par quatre points A, B, C, 1). Ces points sont les sommets, et les droites qui les joignent deux à deux sont les côtés du quadrangle. Los côtés se partagent en trois couples de côtés opposés, à savoir AB et CD, AC et BD, tD et BC.

Les côtés opposés de deux quadrangles désignés par ABCD, A'B'C'D' sont AB et C D', AC et B'D', etc.

GÉOMÉTRIE I)U TRIANGLE

autre triangle A1B1C1, un point D du plan ABC duquel on voit les côtés du triangle ABC sous des angles égaux aux angles ou aux suppléments des angles du triangle A^Ct.

Pour voir comment le point D se déplace lorsque la forme du triangle AiBiCi varie, nous renversons la question. A cet effet, nous supposons le point D successivement dans les différentes régions dans lesquelles le plan ABC est partagé par les côtés du triangle ABC (N.,1), et nous construisons un triangle A'B'C' ayant ses côtés parallèles aux droites DA, DB, DC.

Lorsque le point D est intérieur au triangle ABC ( ffg. i3),on peut mener les côtés B'C', C'A', A' B' du triangle auxiliaire parallèles à DA, DB, DC et dirigés dans le même sens; les triangles ABC, A'B'C' ont donc même orientation. D est à l’intersection des arcs de trois segments capables des angles i8o° — A', i8o° — B', i8o° — C', construits sur BC, CA, AB

Fin.

et tournés vers l’intérieur du triangle ABC. L’angle BDC étant plus grand que BAC, on a i8o°— - A' > A, ou A-hA'<t8o°; de même, B -h B' < i8o°, C + C'< i8o°.

SoitD un point delà région i ', et soit D a le prolongement de AD (Jîg. ij). Le triangle A'B'C' peut être construit de manière que ses côtés B'C', C'A', A'B' soient dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, DC; les sens de rotation ABC, aBC étant identiques, les triangles A' B'C', ABC ont encore même orientation. Les angles BDC, CDA, ADB étant égaux à i8o° — A', B', C', on peut encore dire que les circonférences des segments capables des angles i8o° — A', i8o° — B', i8o° — C', construits sur BC, CA, AB et tournés vers l’intérieur du triangle ABC, se coupent en 1). L’angle BDC est plus petit que BAC, d’où A-hA'>i8o°. On trouve, de la même manière, que pour un point de la région 2' ou 3', on a respectivement B -+- B' > 180°, C h- C' >• 1800. D’ailleurs, une seule des sommes A -+- A', B -h B', C -h C' peut surpasser 1800.

Enfin, considérons un point D situé dans la région 1 (Jïg. i5); appelons

NOTE III

I )a le prolongement de AD. Le triangle auxiliaire A'B'C' peut avoir ses côtés B' G', C'A', A' B' dirigés dans le môme sens que les droites Da, DB, DC. Les sens de rotation ABC, aBC étant différents, les triangles ABC, A'B'C' sont de sens contraires. Les circonférences DBC, DCA, DAB appartiennent aux segments capables des angles A', B', C' construits sur les côtés du triangle ABC vers l’intérieur. Suivant que le point D est intérieur ou extérieur au cercle ABC, on a A — A' > o, B — B'< o, C — G' < o, ou A — A' < o, B — B' > o, C — C' > o. Des inégalités analogues s’appliquent aux points des régions 2 et 3.

De cette analyse, on tire les conclusions suivantes :

i° Étant donnés deux triangles ABC, Ai IL Ci, les circonférences des segments capables des angles 1800 — Ai, 1800— Bt, 180° — Ci, construits sur BC, CA, AB vers l’intérieur de ABC, se coupent en un môme point D tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable à AiBiCi et de même sens que ABC. Ce point est intérieur au triangle ABC, si les trois sommes A -t- A1; B h- Bx , C 4- Ci sont inférieures à 1800; il tombe, respectivement, dans les régions 1', 2', 3', si l’une des sommes A -t- At, B -t- Bi, C -+- Ci est supérieure à 1800.

20 Les circonférences des segments capables des angles Ai, Bt, Ci construits sur BC, CA, AB vers l’intérieur de ABC, se coupent en un môme point E tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable à AiBtCi et de sens opposé à ABC. Ce point appartient à la région t, si la différence A — Ai a un signe contraire à celui des différences B — Bi, C — Ci ; et alors il est intérieur ou extérieur au cercle ABC suivant que le signe de A — Ai est -h ou — , etc.

15. Un triangle ABC a donc, par rapport à un autre triangle Ai Bj Ci, deux métapôles D, E; pour les distinguer, nous dirons que D est lo

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

premier métnpôle , E le second métapôle. Toutefois, lorsque les triangles sont semblables, le premier métapôle est l’orthocentre de ABC, et le second est un point quelconque de la circonférence ABC ; il résulte de là qu’ww triangle A' ICC' dont les côtés sont parallèles aux droites joignant les sommets d’un triangle ABC à un point quelconque de la circonférence ABC, est inversement semblable au triangle ABC.

Soient {fig. 16) a, [3, y les secondes rencontres des droites AD, BD, CD avec les circonférences BDC, CDA, ADB. D’après la dernière remarque,

Fig.

iG.

les triangles aBC, Aj3C, ABy sont inversement semblables au triangle dont les côtés sont parallèles à DA, DB, DC. D’où ce théorème :

Si, sur les côtés cl'un triangle ABC, on construit vers U extérieur les triangles aBC, A(3C, AB y semblables à un triangle donné AjBjCi, A’.v droites A a, B (3, C y se coupent au premier métapôle D des triangles ABC, Ai B] Ci. Si l’on construit les triangles a'BC, A {TC, AB y' son-

NOTE III

blables à Ai IL Ci et tournés vers l’intérieur de ABC, les droites A a', B G T' concourent au second métapôle E.

16. Ce théorème nous conduit aux expressions des coordonnées des métapôles. Soient, on effet, x, y, s les coordonnées normales deD; menons a F, aL perpendiculaires à AB, AC. Nous aurons (fi g. iG)

y aL a C sin a CL 5 = âF = a B sin a BF ’ or

a CL = i8o° -r- (C Ci), aBF = i8o° — (B + BO,

donc

On conclut de là

aC sin aBC sinBi # a B sin a CB sin Ci *

y sinBi sin(C -+- CO s sin Ci sin (B -4- Bi)

sin Ai . sinBi . sinCi sin (A -h AO ' sin (B -h Bi) ’ sin(C -h Ci)

Les coordonnées barveentriques de D sont proportionnelles à ax, b y , cz, ou à

sin A sin Ai sin ( A -+- Ai)

ou encore à

cotA -h cotAi ’

sin B sinBi sin (B -h Bi)

cotB -h cotBi ’

sinC sinCi sin ( G -i- Ci) ’

cote -i- cotCi

Pour celles du second métapôle E, on trouve

cotA — cotAi ’ cotB — cotBi ’ cotC — cotCi ’

Soient Di, Ei les métapôles du triangle A1B1C1 par rapport au triangle ABC. Les expressions précédentes montrent que les points D, D, ont les memes coordonnées barycentriques } l’un dans le triangle ABC, Vautre dans le triangle Ai B i C j ; les points E, Ei jouissent delà meme propriété

Les métapôles D, D, appartiennent toujours à des régions correspondantes des triangles ABC, AiBjCi; il en est de même des métapôles E, Ei, avec cette particularité que l’un est à l’intérieur et l’autre à l’extérieur du cercle circonscrit au triangle correspondant.

Les quadrangles ABCD et A1B1C1D1 sont métapolaires.

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

17. Entre les points D, E, il existe une relation remarquable : les deux faisceaux D (ABC), E (ABC) sont symétriquement égaux. Deux points ainsi associés par rapport à un triangle ont reçu le nom de points jumeaux.