OK
26. Les coordonnées normales de G étant égales au tiers des hauteurs du triangle 'ABC, Les coordonnées normales absolues de K sont
- X « , — X A , - X c ( N . , 1 0 ) , X ayant la valeur —
Pour déterminer le facteur X, nous avons remplacé, dans l’identité
by -t - cz — 2 S, les quantités x, y, z par ^ a a, ~ X A, ^ Ac •
On peut observer que
77 ■+■ Te 4 ^ 40
TT
hb + Fc 1 ’
ha, hb, hc désignant les hauteurs de ABC.
Les coordonnées normales de K étant proportionnelles aux côtés de ABC, K est le centre cVhomothétie de ABC et du triangle formé par les côtés extérieurs des carrés construits sur BC, CA, AB en dehors du triangle ABC.
Des expressions de ces coordonnées, on conclut encore que les coordonnées bary centriques de K sont proportionnelles à a-, A2, c2 ; donc une symédiane d'un triangle partage le côté correspondant dans le rapport des carrés des côtés adjacents.
K est le centre de gravité de son triangle poclaire XYZ. En effet, les triangles KYZ, ABC, dont les angles YKZ, BAC sont supplémentaires, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent ces angles (437); d’où
aire KYZ = \ X2 S et. par analogie, KZX = KXY = X2S.
La démonstration de ce théorème résulte également de la remarque suivante, souvent utile : Étant donné un triangle quelconque ABC, on peut toujours construire un second triangle dont les côtés et les médianes sont, respectivement, parallèles aux médianes et aux côtés du premier triangle; si G' est le centre de gravité du triangle A" BC (fîg- 3 ). le second triangle est CGG'. Il suffit maintenant d’observer que les côtés
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. /p5
da triangle XYZ sont perpendiculaires aux médianes de ABC, et que les droites KX, KY, KZ sont perpendiculaires aux côtés de x4BC.
PROBLÈME
27. Trouver dans le plan d’un triangle ABC un point P { fi g. 19) dont, la somme des carrés des distances x, y, 2, aux côtés du triangle soit minimum.
Menons par le point cherché P une parallèle B' (Y à BC ; P doit être le point de cette parallèle qui rend minimum la somme y~ -4- s2. Or, on a l’identité
AB ' + AC' ) (j2 -t- =2) = (ABC* + AC'.rY- -h(AB'./ — AC'. s)2,
et comme la quantité AB . s -t- AC' .y a une valeur constante, égale au double de Paire AB'C', le minimum dej2 + s2 correspond à la relation AB'.jr — AC'. 3 — o ; d’où
y AC' h
Donc AP est une symédiane du triangle ABC. O11 verrait de la même manière que le point cherché se trouve sur les deux autres symédianes; il se confond donc avec le centre K des symédianes.
28. Le point K est à l’intersection des droites joignant les milieux des côtés du- triangle ABC aux milieux des hauteurs correspondantes {fig. cio).
En effet, en joignant le milieu A' de BC aux points A, Kt, K, Ka, 011 obtient un faisceau harmonique; les trois premiers rayons interceptent sur une parallèle AHi au quatrième rayon A'Ka des segments égaux (338).
29. Soient X', Y', Tl les symétriques, par rapport à K, des projections de R sur les côtés du triangle ABC. Ces points sont les centres clés symédianes des triangles AH2H3, BH3H1, CHiH2) en désignant par IR H2 IL le triangle orthique de ABC {fig. 20).
Puisque A'K passe au milieu de ALR, X' est situé sur la médiane AA': La symédiane AKi de ABC passe au milieu V de P antiparallèle II2H3; de même, la médiane AA' de ABC est une symédiane du triangle AH2H3 ; soit U le point ou AA' coupe H2?I3. Les droites BC, H2H3, antiparallèles par rapport à l’angle BAC, sont aussi antiparallèles par rapport à l’angle Ri AA' qui a la même bissectrice; le quadrilatère KiUVA' est donc inscriptible, et comme A'V est perpendiculaire à H2H3(A'est le centre de la circonférence BII3H2C), KiU est perpendiculaire à BC. 11 en résulte que les points K, X' divisent dans le même rapport les symédianes AKi, AU des triangles semblables ABC, AII21I3; donc X' est le centre des symédianes de AI12U3.
NOTE III
ScOLIE.
Le point K a les mêmes coordonnées harycentriques dans les deux triangles ABC, HiH2H3 {fig. 20). En effet, dans le trapèze AH1K1U, K est le milieu de la parallèle XX' aux deux bases, et, comme il est situé sur la diagonale AKj, la seconde diagonale passe par K. Donc HiK passe par le pied U de la symédiane AX' du triangle AH2H3.
30. Appelons oc, (3, y les secondes intersections des symédianes AK, BK, CK avec la circonférence ABC.
Le faisceau harmonique A(BCKK<!>) rencontre la circonférence ABC en quatre points B, C, a, A, dont le rapport anharmonique = — 1 (321). A cause de cette propriété, le quadrilatère ABaC est dit harmonique. Do même, BC^AetCAyB sont des quadrilatères harmoniques.
Fig. 20.
Les perpendiculaires abaissées de oc sur AC, AB sont proportionnelles à AC, AB; commejelles forment des triangles semblables avec aC, aB,
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
on trouve aisément
AB. a G = AC.aB = {Aa.BC.
Aa est une symcdiane des triangles ABC, aBC; BC est une symédiane des triangles BAa, CA a. Il suit de là que les distances de l’intersection des diagonales d’un quadrilatère harmonique aux quatre côtés sont proportionnelles aux longueurs de ces côtés.
31. a (3 y est le triangle métaharmonique de ABC par rapport à K ; donc il est semblable au triangle podaire XYZ de K, et ses côtés sont proportionnels aux médianes de ABC. Kétant le centre de gravité deXYZcstle centre des symédianes de a (N., 26), ce que l’on peut aussi démontrer directement.
CENTRES ISOGONES ET CENTRES ISODYNAMIQUES.
32. Il existe, dans le plan d’un triangle quelconque ABC, deux points U, U', d’où l’on voit les trois côtés sous des angles de 120° ou 6o° ; ce sont les métapôles du triangle ABC par rapport à un triangle équilatéral (N., 14). Nous appelons ces points centres isogones de ABC.
Construisons (7%. 21) sur les côtés de ABC, vers l’extérieur, les triangles
Fig. 21.
équilatéraux BC«i? CA«2? ABm3; et, vers l’intérieur, les triangles équi-
latéraux BCzz* CAzz'2, ABzz3. Les droites Azzi, B«2, Czz3 concourent en U; les droites A u\, B zz'2, Czz3 en U'.
Les coordonnées barycentriques de U et U' sont
COL A dz y/ 3 cot B zb y/3 cot G dz y/3
33. Lorsqu’aucun des angles A, B, G ne surpasse 120°, le pointu tombe à l’intérieur du triangle ABC (fig. 21). Dans ce cas, il jouit de la propriété de rendre minimum la somme des distances d’un même point aux sommets du triangle de référence. En effet, désignons par NiN2N3 le triangle antipodaire de U par rapport à ABC; ce triangle est équilatéral et ses sommets appartiennent aux circonférences BC«i, CAzz2, ABzz3. L’angle UGNi étant droit, UNi est un diamètre du cercle BC u 1 ; par suite, l’angle UzziNi est droit et la droite Ni zzj est parallèle à N2N3. Ainsi, les droites Azzj, Bzz2, Czz3 sont égales à la hauteur du triangle NjN2N3. Soient Wi, yy2, yy3 les perpendiculaires abaissées d’un point intérieur V sur les côtés de NiN2N3. La somme VVi -+■ VV2 4- VVr3 est toujours égale à la hauteur de N!N2N3; par conséquent
ua -+- ub + uc = Wi -+- yy2 + vv3 < va + vb -+• yc.
Si le point V est à l’extérieur, on a, par exemple,
UA -4- UB 4- UC = V V, — W2 — W3 < VA 4- VB -4 VG .
La propriété énoncée est donc démontrée.
La discussion complète du problème de trouver le minimum de dz VA dz VB zb VG ne saurait trouver place ici (1).
34. Lorsque l’angle BAC est plus grand que 120°, U tombe dans la région 1', et l’on a UB 4- UC — UA = Azz^ Lorsque les angles B et C du triangle ABC sont tous deux inférieurs à 6o° ou tous deux supérieurs à 6o°, le point U' tombe dans la région 1 et l’on a, respectivement, UBh-UC — UA = dz A u\.
Calculons les longueurs Azz2 = .y, Azz\ = s'. En appliquant au triangle Azzjzz', les théorèmes 230 et 23 i, nous aurons
J* 4- s ~ = 2 AA' 4- 2 A' ui , s* — /2 = 4 A' z/, . AH1} ou, à cause de h1 4- c 2 = 2 A A' 4- -a* , A 'zzt = ~ zzy/ï,
(’) Voir J, Bertrand, Journal de Liouville , t. VIII.
GÉ0MÉT11IE DU TRIANGLE
par conséquent
35. Soient (y?#1. 21) W. W' les inverses des centres isogones U, U' dans le triangle ABC. Ces points sont les centres métaliarmoniques de ABC par rapport à un triangle équilatéral, c’est-à-dire que les triangles podaires et les triangles métaliarmoniques de W et W' sont équilatéraux. 11 résulte de là que
a.XW = A.BW = c. CW, a . A W# = A.BW' = c. CW'.
A cause de ces relations, les quadrangles ABCW, ABCW' sont dits isodynamiques, et les points W, W' sont appelés centres isodynamiques du triangle ABC.
Comme on a
B\V B A BYT CW ~ CA “ CW' ’
les points W, W' appartiennent à la circonférence qui a pour diamètre la distance Ii ô des pieds des bissectrices, intérieure et extérieure, de l’angle opposé; cette circonférence coupant orthogonalement celle qui est circonscrite au triangle ABC, son centre est au point Ai (383, 332). Donc les trois circonférences qui ont pour diamètres les segments CD, û> 12, i% compris entre les pieds des bissectrices se coupent aux centres isodynamiques W, W' ; leurs centres sont sur la polaire de K. On en conclut que W, W' sont sur le diamètre OIv, que le milieu du segment WW' appartient à la droite OK, et que OW.OW' — R2.
Scolie.
Les cercles ARC, BRC, C13C ont reçu le nom de cercles d’Apollonius du triangle ABC. Leurs cordes communes avec le cercle ABC sont dirigées suivant les symédianes AK, BK, CIv, polaires de leurs centres Ai, A2, A 3 par rapport au cercle ABC.
