POINTS, CERCLE ET TRIANGLES DE BROCARD

36. Soient A', B', C' les milieux des côtés du triangle fondamental ABC; O, le centre du cercle circonscrit; K, le centre des symédianes.

(’) II. Brocard, Nouvelles Annales de Mathématiques , 187Ô; Nouvelle correspondance mathématique , 1877, 1879, 1880; Association française pour l'Avancement des Sciences , Congrès d’Alger, 1881.

J. Neuberg, I fathesis, 1881.

Le cercle décrit sur la droite OK comme diamètre a reçu le nom de cercle de Brocard; nous le désignons par cercle (OK) . Soient Ci

les points où il rencontre les médiatrices OA' , OB', OC', et soient A2, 1 32, C2, ses points d’intersection avec les symédianes AK, BK, CK. Les triangles A1B1C1, à2B2 C2 sont dits, respectivement, le premier et le second triangle de Brocard de ABC {fi g. 22,).

Fig. 22.

Les droites KAj, KBJ? KCi étant perpendiculaires à OA', OB', OC', les segments Ai A', BiB', CiC' sont égaux aux coordonnées normales absolues de K, et par suite proportionnels à BC, CA, AB. Donc les triangles isocèles AiBC, BiCA, Ci AB sont semblables. L’angle à la base de ces triangles, que nous désignons par V, est V angle de Brocard de ABC.

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

Le triangle Ai A'B donne Ai A'= - a tangV ; d’où (N., 26)

C° x “ 4 S ~ ‘i\h a ' h b ^ hc ) 9

/‘ai hb ■ bc représentant les hauteurs de ABC. Mais

a = BHi H- IL C — b a ( cotB cotC), ... ;

conséquemment,

col V = cot A -b cot B -4- col C.

37. Le triangle A1B1C1 est inversement semblable à ABC; car les droites K Ai, KB2, KC2 sont menées par un môme point de la circonférence (OK) parallèlement aux côtés du triangle ABC (N., la).

Cherchons le rapport de similitude. En tenant compte des signes des aires (1), on peut écrire

Ai Bi Çi — O Ai Bi -4- OBi ( j i -4- O Ci Ai .

Les angles AiOBi, ACB ayant leurs côtés perpendiculaires, on a

O Aj Bt OAlOB, (OA’— Ai A') (OB'— B, IL) .

S ab a b *

comme OA' = - «cot BOA' — - «cot A, AiA' = -a tangV...., cotte rc- 2 2 2

lation prend la forme

- AglBl — - (cotA — tangV) ( cotB — tangV).

Additionnant l’égalité précédente avec les deux autres analogues, et observant que

cotA cotB -i- cotB cotC -4-cotC cotA= i, cotA -h cotB-t-cotC = cot V, on trouve

Ai Bi Ci 3 tang2 V — i ABC “ 4

L’aire AiBjCi étant négative, le rapport de similitude des deux tri-

(*) Les aires de deux triangles, désignées par ABC, A'B'C', sont de même signe ou de signes contraires suivant que les sens de rotation ABC, A'B'C' sont les mêmes ou diffèrent. Si O est un point quelconque du plan ABC,

on a