ABC = O AB OBC+OCA
462 NOTE III
angles Ai BiC1; ABC est égal à| /i — 3tang2Y, et
Bi Ci = - a y/i — 3 tang* V, • • • > OK = R / 1 — 3 tan g* Y .
LEMME
38. Sur les côtés d’un triangle ABC, on construit trois triangles directement semblables AB c, BC a, CA b : les triangles abc, ABC ont même centre de gracile
Supposons d’abord les points a, b, c quelconques (fig. 23) et soient G, G', G", G'" les centres de gravité des triangles ABC, a B C, a b C, abc. Les médianes AA’, a±V étant divisées en G, G dans le même rapport
a : i, la droite GG’ est parallèle à A a et égale à ~ Aa. On en conclut
aisément qu’on passe du centre de gravité du triangle ABC à celui de abc , en construisant une ligne brisée GG'G" G'" dont les côtés sont parallèles aux droites A a, B b, Ce et égaux aux tiers de ces droites. G"
Fig. 23.
coïncidera avec G, si les droites A a, B b, Ce sont égales et parallèles aux côtés d’un même triangle (J/g. 24).
Dans le lemme énoncé ci-dessus, les droites A c, B a, C b sont proportionnelles aux côtés AB, BC, CA du triangle ABC et également inclinées sur ces côtés; donc elles représentent en grandeur et en direction les côtés d’un triangle semblable à ABC. Les triangles, ABC, cab ont donc même centre de gravité.
39. D’après le lemme précédent, G est le point double des triangles semblables A1B1C1, ABC (f/g. 22).
Désignons par xx\yy' les bissectrices dos angles A'GAi, Ai GA, et par A3, B3, C3, A4, B4, C4 les points où elles rencontrent les médiatrices OA', OB', OC', xx ', yy' sont les droites doubles des triangles sem-
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^3
blables Aj B1C1, ABC; on les appelle les axes de Steiner de ABC. Comme GAi et GA' sont deux lignes homologues, on a
y/ i — 3 tang2 V d’où
GA! A,A3 Ai A'— A3A' | a tang V — A3A' GA' “ A3 A' “ As A' " “ ~ Â^T ’
«tang V
2(1 -+- sJ 1 — 3 tang2 V)
On voit que les triangles isocèles A3BC, B3CA, C3 AB sont semblables leur angle à la base, que nous représentons par Y{ et qui a reçu le
Fig. 24.
nom de premier angle de Steiner de ABC, est donné par la formule
cotVi =
col V -h y/cot2 V — 3.
De même, les triangles A4BC, B4CA, C4AB sont semblables, et leur angle à la base (second angle de Steiner ) vérifie l’égalité
cotV2 = cotV — y/cot2 V — 3.
THÉORÈMES
40. Les perpendiculaires abaissées des sommets de ABC sur les côtés opposés de At Bi Ci concourent en un meme point N ; les parcdlèles menées par les sommets de ABC aux côtés correspondants cle A1B1C1 concourent en un meme point B. Les points N et R sont les extrémités d’un meme diamètre du cercle ABC ; ce sont, par rapport au triangle
ABC, les homologues des points O, K considérés dans le plan AiBjCj.
Eu effet {fîg. 22), deux droites homologues des plans A1B1C1, ABC ayant des directions symétriques par rapport à xx' , les perpendiculaires abaissées de Ai, Bi, Ci sur les côtés de ABC ont pour lignes correspondantes les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés de Ai B! Ci.
On démontre facilement, par la considération de triangles semblables, que les coordonnées normales d’un point M de la circonférence circonscrite au triangle de référence ABC sont inversement proportionnelles aux rayons vecteurs MA, MB, MC. Par conséquent, les coordonnées normales de O dans le triangle A1B1C1 et celles do N dans le triangle ABC sont inversement proportionnelles à OAi=|(cotA — tangV), OBi, OCi ; d’où l’on déduit qu’elles sont entre elles comme
séc(A+V) : séc(B+V) : séc(C + V).
Celles de K dans le triangle AiBjCi sont inversement proportionnelles à A'X = SvAi, B' Y, C' Z, en désignant par XYZ le triangle podaire de Iv par rapport à ABC. Soient K2, K/, les points de rencontre de AK avec CA, OB'; BK2KKa étant une division harmonique, le segment B' Y est divisé harmoniquement par K2H2. Par conséquent (332),
BÂvT
si l’on calcule B'K2, B'I12 en fonction de a, b , c, on trouve que les coordonnées normales de K dans AjBiCi, et celles de R dans ABC, sont
a ( lA
l) ( c2 — a2) c(a* — IA )
41. Les perpendiculaires menées des milieux des côtés du triangle Ai B1C1 sur les côtés correspondants du triangle ABC concourent au centre du cercle des neuf points de ABC. Car ces droites, parallèles à OA1; OBi, OCi passent par le complémentaire O' de O par rapport à AtBjCi, de sorte que GO' = \ OG.
42. Les droites AAt, BBi, CCi concourent en un meme point D, qui est le réciproque de K par rapport à ABC .
Si l’on coupe le faisceau harmonique A'(AKiKKa) par la droite KAi parallèle au rayon A'K1? on voit que AA' passe au milieu de KAi ; donc AK et AAj rencontrent BC en des points isotomiques.
Nous mentionnons, sans démonstration, les propriétés suivantes : Le point D est situé sur la droite NB ; l’axe d’homologie des triangles ABC, A1B1C1 est perpendiculaire à la droite OD.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
43. Les droites ACi, BAi, CBi concourent en un meme point 12 du cercle (OIv); les droites BCi, CAi, ABj concourent en un second point 12' du meme cercle.
En effet, les droites A Ci, BAj faisant le môme angle avec les droites CiO, Ai 0 se rencontrent sur la circonférence Ai Ci 0 ; de même, les droites BAi, CBi se coupent sur la circonférence A1B1O. Donc les trois lignes ACi, BAi, CBi passent par un môme point de la circonférence(OK).
Scolie.
44. i° Les angles A12B, B12C, C12A sont égaux à 71 — B, tt — C, - — A.
Par conséquent, pour déterminer le point 12, on peut décrire une
circonférence passant par les sommets A, B, et tangente à BC;
» B, C, » CA
