II. et de C. — Tr. de Géom. (Ire Partie). 3o
3° En comparant les coordonnées barycentriques des points K, 12 , 12', on a une construction très simple pour déduire les deux derniers points du premier : les droites K 1 123 , K212i,K3Q2 sont parallèles à CA, AB, BC; les droites Ki122, K212'3, KsQj sont parallèles à CA, AB, BC.
Fi;>. 25.
4° La corcle 1212' du cercle (OK) est perpendiculaire sur le diamètre OK et est vue du point O sous l'angle i\T. En efl'et, les angles 12 Ai K , K Ai 12' sont égaux à Y.
THÉORÈME
45. Soie?it V a , F 6 , Fc trois figures directement semblables, construites sur les côtes BC, CA, AB du triangle ABC comme segments homologues . Les points A2, B2, C2 du cercle (OK) sont les centres de similitude de F* et Fc, Fc et Fa , Fa et F b {fîg- 22).
Soit a la seconde extrémité de la corde symédiane AK. OA2 étant perpendiculaire à AK, A2 est le milieu de Aa; BA2 et BKi sont donc la médiane et la symédiane du triangle BAa; d’où angle ABA2 = CB a = CA a,
GÉOMÉTRIE D'J TRIANGLE
et, par analogie, angle ACA2 = BCa = BAa. Les triangles CAA2, ABA, sont donc directement semblables, et A2 est le point double (368) de
Corollaires.
i° Le point A2 appartient aux circonférences adjointes (BA), (CA) et à la circonférence BOC. Car l’angle
AA, G = TT — A2 AC — AC A, = tc — A2 AC — B AAa = tc — A.
THÉORÈME
16. Les triangles Ai Bi Ci, A2B2C2 ont pour centre d'homologie le centre de gravité G de Ai Bi Ci ; pour axe d’homologie, la polaire de G par rapport au cercle (OK) ( /zjg. 22).
En effet, Bi et Ci étant des points homologues de F* et Fc, les droites homologues A2Bj, A2Ci font entre elles un angle égal à celui des lignes homologues CA, AB ou égal à tc — A; de plus, elles sont proportionnelles à CA, AB ou à Ci Ai, A1B1. Par conséquent, les points Ai, A, sont situés de part et d’autre de B1C1, et A2Bi. A1B1 = Ai Ci. A2Ci; les triangles Ai A,Bi, AiA2B2 sont donc équivalents, et Ai A, passe au milieu de Bi Ci.
Comme les cordes AiA2, BiB2 se coupent en G, le point d’intersection des cordes AiB^ A2B, appartient à la polaire de G (344), etc.
Corollaire.
L e triangle A2B2C2 est semblable au triangle podaire de G par rapport à ABC.
THÉORÈMES
47. La polaire de K par rapport au triangle ABC est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle (OK) {fig> 22).
Soient u , v, z les points de rencontre de la droite OK avec la circonférence ABC, et avec la polaire Aq /c2/c3 de K. La division harmonique uvzii donne (332)
donc z K. «O = zu.zv, ce qui démontre le théorème.
48. La circonférence (OK) et la polaire Aq /i2/c3 de K sont des figures inverses par rapport à la circonférence ABC (fig- 22).
NOTE III
Ce théorème résulte immédiatement de la relation OK. Os = R2 (388). Onenconclutqueles points tripolairement associés à Aj, IR, Ci, A2, B2, C2, 12, £2' appartiennent à la droite kt A-2 /c3.
Les points 12, 12' étant des points inverses par rapport au triangle ABC, leurs triangles podaires (N., 9) sont directement semblables àBCA, CAB. Les droites 012, 012' rencontrent la polaire de K en des points dont les triangles podaires sont inversement semblables à BCA, CAB. Le triangle podaire de s est inversement semblable au triangle dont les côtés sont parallèles aux médianes de ABC.
